Encontrar el límite de una función multivariable.

Question

Tengo una pregunta que puede ser tonta pero necesito entender este tipo de problemas. Así que tengo este límite: $$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2}$$ Para resolver lo voy a usar poolar coordenadas, por lo que el límite sería como este:

$$\lim_{r\to0} \frac{r^3\cos^3\theta + r^3\sin^3\theta}{r^2}=$$ $$\lim_{r\to0} {r(\cos^3\theta + \sin^3\theta)}$$

Ahora está claro para mí que r tiende a $r\to0$, pero, ¿puedo decir algo acerca de la $\cos^3\theta + \sin^3\theta?$ En caso de que yo podría, entonces yo diría que a es acotado, por lo tanto el límite de 0. Pero no está claro para mí, alguien podría ayudarme con esto?

Answer 1

Funciona porque

$$\left|\cos^3\theta + \sin^3\theta\right| \le \left|\cos\theta\right|^3 + \left|\sin\theta\right|^3 \le 2$$

También sin coordenadas polares:

$$\begin{align} \left|\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\right| &= \frac{|x+y||x^2-xy+y^2|}{x^2+y^2} \\ &\le|x+y| \cdot \frac{x^2+y^2+|xy|}{x^2+y^2} \\ &\le \sqrt{2}(x^2+y^2) \cdot \frac{\frac32(x^2+y^2)}{x^2+y^2}\\ &= \frac{3\sqrt{2}}2\|(x,y)\|^2 \xrightarrow{(x,y) \to (0,0)} 0 \end{align}$$

Answer 2

Ambos seno y coseno son siempre delimitada por $1$ en valor absoluto. Por lo tanto, $|\cos^3 \theta + \sin^3 \theta| \leq 2$. Su límite es, por tanto,$0$.

Answer 3

Usted puede escribir $$\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}= \frac{x^2+y^2-xy}{x^2+y^2}(x+y)=x+y-\frac{xy}{x^2+y^2}(x+y)$$ Ahora observar que $$\left|\frac{xy}{x^2+y^2}\right|\le1$$ debido a $a^2-ab+b^2\ge0$.