Uniformemente continua con unbounded derivados

Question

Un almacén de derivados es una condición suficiente para la continuidad uniforme, pero no es necesario.

Sé el contraejemplo $f(x) = \sqrt{x}$ en el intervalo de $[0,\infty)$ donde la derivada es ilimitado en $0$, pero la función es uniformemente continua.

Hay un ejemplo en donde la $f$ es uniformemente continua y $f'(x)$ es ilimitado como $x \to \infty$ pero limitado en cualquier intervalo compacto?

Answer 1

Tomando $$f(x)=\frac{\cos(x^3)}{x}$$ on $[1,\infty)$ es suficiente ya que es uniformemente continua y ha derivado

$$f'(x)=-3x\sin x-\frac{\cos(x^3)}{x^2}.$$