¿Por qué los derivados de ciertas ecuaciones que relacionen a los círculos de producir otros similares de ecuaciones?

Question

Posibles Duplicados:
¿Por qué es la derivada de un círculo de área de su perímetro (y de manera similar para las esferas)?

Todos sabemos que el volumen de una esfera es:

$V = \frac{4}{3}\pi r^{3}$

y su área de superficie es

$S = 4 \pi r^2$

Ahora vemos que

$\frac{dV}{dr} = S$

Así, el área de un círculo es

$A = \pi r^2$

La circunferencia es

$C = 2 \pi r$

Ahora vemos de nuevo que

$\frac{dA}{dr}=C$

No puede ser más que no he notado. ¿Por qué esta relación se producen?

Answer 1

Deje $K_1$ ser una agradable región, fijo a partir de ahora, como una esfera de radio $1$, o una mitad de una esfera de radio $17$, o un tetraedro regular de lado a $9.5 \pi$.

Ahora vamos a $K_r$ ser la región obtenida por el escalado de todas las dimensiones lineales de $K_1$ por el factor de escala $r$.

Deje $V(r)$ el volumen de $K_r$, y deje $S(r)$ ser el área de la superficie de $K_r$. Tenga en cuenta que debido a la forma de los volúmenes y de las áreas de la superficie de la escala, $$V(r)=r^3 V(1)\quad\text{and}\quad S(r)=r^2S(1).$$ Así $$V'(r)=3r^2 V(1)=r^2 S(1)\tfrac{3V(1)}{S(1)}=\tfrac{3V(1)}{S(1)}S(r).$$ Por tanto, para cualquier cuerpo $K_1$, el derivado $V'(r)$ es una constante de veces el área de superficie de la $S(r)$.

En el caso de que $K_1$ es la esfera de radio de la unidad, la constante pasa a ser $1$. Por otro a partir de formas de $K_1$ o de otras medidas de dimensión lineal, la constante será diferente. Pero el punto importante es que siempre hay una constante $C=C_{K_1}$ tal que $V(r)=C S(r)$.

Consideraciones similares se aplican en dos dimensiones a $S'(r)$ y un elemento lineal como el perímetro $P(r)$$K_r$. La idea puede ser ampliada a las dimensiones superiores.