$décimo$ $dígito$ $decimal$ $de$ $1000$ de $(8+\sqrt{63})^{2012}$

Question

Encuentra el dígito en la $1000$ posición a la derecha del punto decimal del número $(8+\sqrt{63})^{2012}$

Tomé este problema de una Olimpiada Mexicana de Matemáticas llamada Galois-Noether. Es el último problema aquí. Las opciones son $1$, $3$, $7$ y $9$ y la correcta es $9$.

No sé cómo resolver esto. Sé que si escribimos $(8+\sqrt{63})^{2012}$ como $n.d_1d_2\ldots d_{1000}\ldots$, donde $n$ es la parte entera del número y $d_i=0,1,\ldots,9$, entonces obtendremos

$$10^{1000}(8+\sqrt{63})^{2012}=nd_1d_2\ldots d_{1000}.d_{1001}\ldots$$

Así que todo lo que tenemos que hacer es tomar la parte entera de $10^{1000}(8+\sqrt{63})^{2012}$ y luego tomarla $\;\text{mod}\,10$. Pero, a menos que uses una computadora, esto parece demasiado complicado.

Una cosa que creo que podría ayudar es el hecho de que $\sqrt{63}$ está ''cerca'' de $\sqrt{64}=8$. Pero no puedo ver cómo usar esto.

Answer 1

Pistas:

(i) $(8+\sqrt{63})^{2012} + (8-\sqrt{63})^{2012}$ es un número entero. Una forma de probar esto es utilizando el teorema del binomio.

(ii) $(8-\sqrt{63})^{2012}$ es positivo y bastante menor que $10^{-1000}$. (El hecho de que $\sqrt{63}$ esté cerca de $8$ es útil para esta parte).

Answer 2

1) $(8-\sqrt{63})^{2012}=N.0000000...00ABC...$

2) $(8+\sqrt{63})^{2012}+(8-\sqrt{63})^{2012}=A \in Z$

Entonces

3) $(8+\sqrt{63})^{2012}=K.9999999...99DCE...$

Answer 3

Como amablemente señaló André Nicolas, $$(8+\sqrt{63})^{2012}+(8-\sqrt{63})^{2012}$$ es igual a un valor integral. Además, $(8-\sqrt{63})^{2012}$ es igual a un valor fraccional. Por lo tanto, podemos escribir: $$I + f = (8+\sqrt{63})^{2012}$$ $$f` = (8-\sqrt{63})^{2012}$$ Donde I significa entero mientras que f significa parte fraccional. Sumando los dos, obtenemos: $$I + f + f` = (8+\sqrt{63})^{2012}+(8-\sqrt{63})^{2012}$$ Ahora, como tanto f como $f`$ están entre 0 y 1, su suma estará entre 0 y 2. Sin embargo, sabemos que $I + f + f`$ es igual a un valor integral y por lo tanto $f + f`$ solo puede ser igual a 1. Por lo tanto: $$f + f` = 1$$ $$f = 1 - f`$$ Como el valor de $f`$ es bastante pequeño, $1-f`$ dará un número muy cerca de 1, es decir, $0.999.....$