Deje $H,K\lhd G$ si $H\cong K$$H\cap K\neq\{1\}$, entonces no se sigue que la $H=K?$

Question

Deje $H,K\lhd G$ si $H\cong K$$H\cap K\neq\{1\}$, entonces no se sigue que la $H=K?$

Está claro que si $H\cap K=\{1\}$ $H$ no tiene que ser igual a $K$ . Pero si se sigue que no hay intersección no es vacía, no se sigue que deben ser iguales?

Answer 1

Aquí es un No Abelian Contraejemplo:

Considerar el grupo de cuaterniones $Q_8=\{1, i, j, k, -1, -i, -j, -k\}$ .

En particular, las relaciones $i^2=j^2=k^2=-1$$i^4=j^4=k^4=1$.

Así que toma los subgrupos $I= \langle i \rangle$ ang $J=\langle j \rangle$ que son normales (que han de índice 2 subgrupos de $Q_8$).

Tenemos $I \cap J = \{1, -1\}$ $I \neq J$ como necesitamos.

Answer 2

No. Como un simple contraejemplo tomar $G=\mathbb Z^3$, $H=\{0\}\times\mathbb Z\times \mathbb Z$, y $K=\mathbb Z\times\mathbb Z\times\{0\}$.

Answer 3

No, sólo se sigue que su intersección es un subgrupo normal de todos $G$, $H$ y $K$.

Answer 4

Tomar la abelian grupo de orden $8$ que es el producto directo de los tres grupos de orden $2$ generado por $a,b,c$. Considere la posibilidad de los grupos generados por $a,b$$a,c$.

El asunto es que tome $G=A\times B\times B$ las dos evidente subgrupos de la forma $A\times B$