Teoría de la medida - Continuidad absoluta

Question

Una pregunta de mis deberes:

Supongamos que $\mu$ es una medida en la recta real con respecto a Borel $\sigma$ -tal que $\forall x \in \mathbb{R}$ $\mu(\{x\})=0 $ . es $\mu$ ¿es necesariamente absolutamente continua respecto a la medida de Lebesgue?

Nosotros decimos $\mu$ es absolutamente continua con respecto a $m$ si para cada conjunto medible $E$ tal que $m(E)=0$ que $\mu(E)=0$ también.

No puedo ver una razón por la que esto debería ser cierto, pero no puedo encontrar un buen ejemplo de contador. He cansado algunas variaciones en la medida de conteo. También intenté construir algunas medidas que dan medida positiva en conjuntos incontables y medida cero en contables, pero no son aditivas (es decir, no son medidas).

Agradecería enormemente la ayuda.

Gracias.

Answer 1

No, existen medidas no atómicas cuyo soporte es un conjunto de medida cero.

Se denominan medidas continuas singulares y no son absolutamente continuas con respecto a la medida de Lebesgue.

Por ejemplo, la medida correspondiente al función escalera del diablo tiene como soporte el conjunto de Cantor, pero la medida de cada punto es cero.

Sea $F$ sea la función escalera del diablo en el intervalo unidad. Entonces podemos definir una medida de Borel sobre el intervalo unitario que es singular con respecto a la medida de Lebesgue y no tiene átomos de la siguiente manera: para $E\subset[0,1]$ configure

$$\mu_*(E)=\inf\sum_{j=1}^\infty F(b_j)-F(a_j)\tag{1}$$

donde el mínimo va sobre todas las coberturas de $E$ con intervalos $(a_j,b_j)$ , $j=1,2,\dots$ .

Es la medida exterior de Riemann-Stieltjes asociada a $F$ . Sigue adelante y demuestra que realmente es una medida exterior. Entonces aplicamos el teorema de extensión de Caratheodory (como en la construcción de la medida de Lebesgue) para obtener una medida de Borel correspondiente $\mu$ (tal que $\mu_*(E)=\mu(E)$ para medir $E$ ).

Tenga en cuenta que $\mu((a,b))=F(b)-F(a)$ . Desde $F$ es continua, se deduce realmente que $\mu(\{x\})=F(x)-F(x)=0$ . Por otra parte, la medida no es absolutamente continua, porque $\mu(E)=\mu(C\cap E)$ para cada $E$ donde $C$ es el conjunto de Cantor. Dado que $\lambda(C)=0$ ( $\lambda$ siendo la medida de Lebesgue) vemos que $\mu$ es singular con respecto a la medida de Lebesgue.

Como querías una medida sobre la recta real, extiende esta medida sobre el intervalo unitario en $0$ fuera de $[0,1]$ .

Esta construcción funciona con cualquier función creciente y proporciona (tras una normalización adecuada) una correspondencia 1:1 entre función creciente y medidas de Borel positivas (véase Stein, Shakarchi Análisis real ).

Nota:

Toda medida de Borel positiva $\mu$ (digamos en el intervalo unitario, también funciona en $\mathbb{R}$ pero ahí necesitas $\sigma$ -como supuesto adicional) puede descomponerse unívocamente como

$$\mu=\mu_a+\mu_{sc}+\mu_{pp}$$

donde $\mu_a$ es absolutamente continua, $\mu_{sc}$ es una medida continua singular (es decir, singular y sin átomos) y $\mu_{pp}$ es una medida puntual pura, es decir, el soporte consiste enteramente en átomos (todo con respecto a la medida de Lebesgue, pero también se pueden utilizar otras medidas).

Busca el teorema de Radon-Nikodym en Rudin's Análisis real y complejo como referencia.

Answer 2

No. Toda medida de Borel que no contenga medidas de Dirac (no atómicas) y sea singular con respecto a la medida de Lebesgue tiene esta propiedad.

Por ejemplo, la medida de probabilidad uniforme sobre el conjunto de Cantor que se define de la siguiente manera. Sea $C$ sea el conjunto de Cantor definido como $C=\cap_{n=1}^\infty I_n$ donde $I_n$ es una unión de $2^n$ intervalo cerrado disjunto, cada uno de longitud $3^{-n}$ . A continuación, defina la función $$ \ell_n(f)=\frac{3^n}{2^n}\int_{I_n}f\,dx, \quad f\in C[0,1]. $$ Claramente, $|\ell_n(f)|\le \|f\|_{\infty}$ . No es difícil demostrar que $\{\ell_n\}$ converge débilmente en ${\mathcal M}[0,1]$ y su límite $\ell$ se realiza mediante una medida de Borel positiva $\nu$ es decir, $$ \ell(f)=\int_{[0,1]}f\,d\nu, $$ que tiene las propiedades requeridas.