Independencia lineal y la Wronskian

Question

Supongamos que tengo dos linealmente independiente de vectores solución \begin{bmatrix}x_1,_1(t)\\x_1,_2(t)\end{bmatrix} y \begin{bmatrix}x_2,_1(t)\\x_2,_2(t)\end{bmatrix}

Si me tome la Wronskian de estos 2 vectores solución, se trata de un número distinto de cero, ya que se declaró para ser Linealmente Independientes. Mi pregunta es, si usted toma la Wronskian de la misma vectores solución, pero sus derivados:

\begin{bmatrix}x'_{1,1(t)}&x'_{2,1(t)}\\x''_{1,1(t)}&x''_{2,1(t)}\end{bmatrix}

Él todavía es linealmente independiente? (Sería el Wronskian ser un número distinto de cero?

Answer 1

Tiene un par de cosas pasando a la vez aquí. En primer lugar, usted está preguntando acerca de la Wronskian de dos vectores de funciones: $$\mathbf{x}_1(t) = \left[\begin{array}{c} x_{1,1}(t) \\ x_{1,2}(t) \end{array}\right] \quad\text{and}\quad \mathbf{x}_2(t) = \left[\begin{array}{c} x_{2,1}(t) \\ x_{2,2}(t) \end{array}\right]$$
que se define como: $$W(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2)(t) = \left|\begin{array}{cc} x_{1,1}(t) & x_{1,2}(t) \\ x_{1,2}(t) & x_{2,2}(t) \end{array}\right|.$$ Lo siguiente que se preguntan acerca de la Wronskian de dos funciones diferenciables $x_{1,1}(t)$$x_{2,1}(t)$, que se define como: $$W(x_{1,1},x_{2,1})(t) = \left|\begin{array}{cc} x_{1,1}(t) & x_{2,1}(t) \\ x_{1,1}'(t) & x_{2,1}'(t) \end{array}\right|.$$ Así que tenga cuidado de no. Para responder a tu pregunta (para las funciones de al menos): $$f(t) = t\quad\text{and}\quad g(t) = -1.$$ A continuación, $$W(f,g) = \left|\begin{array}{cc} t & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right| = 1$$ pero $$W(f',g') = \left|\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right| =0.$$ También, en este enlace hace un gran trabajo de explicar el Wronskian.

Answer 2

Cualquiera de los dos linealmente independientes constante vectores dependientes (idéntica a cero) de los derivados. Por lo tanto, la respuesta a su pregunta es "no necesariamente".