Mi escuela tiene muchas clases. Cualquiera de los dos estudiantes comparten exactamente la clase. Cualquiera de las dos clases de compartir exactamente un estudiante. Una clase debe tener, como mínimo, $3$ a los estudiantes, y hay al menos una clase con $17$ de los estudiantes. ¿Cuántos estudiantes asistir a mi escuela?
¿Cómo me acerco a esta pregunta? ¿Cómo puedo determinar si es o no esta cuestión ha resultado numérico exacto?
Esto es difícil... ayuda sería muy apreciada.
Usted está buscando un proyectiva del plano con las líneas que contengan $17$ puntos (es decir, planos proyectivos de orden $16$). Estos han $16^2+16+1=273$ puntos (es decir, estudiantes) y $273$ líneas (es decir, clases). Hay una lista de $16$ no equivalentes, tales proyectiva planos mencionados aquí.
Tenemos que comprobar que cada clase tiene el tamaño de $17$ y que cada alumno asiste a $17$ de las clases.
Deje $C$ ser la clase de tamaño de $17$ $x$ ser un estudiante que no esté en $C$ (que existe, ya que hay "muchas" de las clases). A partir de los supuestos, cada clase de $x$ asiste a tiene un único estudiante en $C$ y cualquier estudiante $y \in C$ de las acciones de una clase única con $x$. Por lo tanto $x$ asiste exactamente $17$ de las clases.
Deje $N$ ser el conjunto de clases a la que asistieron $x$ (sabemos $|N|=17$ a partir de los anteriores), y deje $z$ ser un fuera de clase de $N$. A partir de los supuestos, cualquier estudiante en $z$ de las acciones de una clase única en $N$ y cualquier clase en $N$ de las acciones de un único estudiante con $z$. Por lo tanto $z$ contiene exactamente $|N|=17$ de los estudiantes.
Ahora tenemos que volver atrás y repetir el argumento arbitrario $x$ y arbitraria $C$ que $x \not\in C$ donde sabemos $|C|=17$.
Llegamos a la conclusión de que cada clase tiene $17$ alumnos y cada alumno asiste a $17$ de las clases. Así que realmente tenemos un plano proyectivo de orden $16$.
El número de puntos (líneas) en un plano proyectivo de orden $n$$n^2+n+1$.
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