Momento de inercia: ¿por $\mathrm dI=r^2\mathrm dm$ en lugar de $\mathrm dI=m\mathrm dr^2$?

Question

Cuando se calcula el momento de inercia, he observado que la gente suele utilizar la siguiente lógica:

$d I=r^2 dm\ \por lo tanto I=\int r^2 dm$

Mi pregunta aquí es, ¿por qué no usar $dI=m ~d(r^2)$?

Reconozco que la integración de dI significa que estoy sumando todos los pequeños I ($\Sigma I_i$). Lo que me parece extraño es que el visionado de dI $md(r^2)$ parece no tener sentido cuando se ve desde tal perspectiva.

Hay una razón por la que ningún libro de texto parece ver dI de esa manera?

Answer 1

Si el cuerpo fuera un conjunto discreto de puntos de masa de los objetos de rotación alrededor de un eje, habría que escribir $I=\sum_j m_j r_j^2$

Para una continua cuerpo de la suma se acerca a una integral. Cree que es más pequeño y de menor masa de los objetos. Piensa, por ejemplo, un ladrillo como si estuviera hecha de granos de la roca, entonces los átomos... Los objetos más pequeños $m \to \delta m$ pero sus radios no. Si el ladrillo ha $r=1 m$, los granos que componen el ladrillo ha $r$ en el rango $0.9 - 1.1 m$. Así que usted considere la posibilidad de un montón de pequeñas masas a no pequeñas radios, no al revés.

Answer 2

Conceptualmente, cada pequeña pieza de un objeto contribuye a que el momento de inercia total. Cada pequeña pieza de un objeto se compone de un volumen de la materia, de manera que cada pieza tiene algunas pequeñas de masa, $$\delta m = \rho\left(\vec{r}\right) \delta V.$$ $\rho\left(\vec{r}\right)$ es una función de densidad de cuyo valor depende de la posición de cada una de las $\delta m$.

Sin entrar en el tensor de cálculos, es decir, mantener las cosas simples, cada una de las $\delta m$ tiene una contribución para el momento de inercia alrededor de algún eje, $$\delta I = \delta m R_{\perp}^2$$ donde $R_{\perp}$ es la distancia perpendicular desde el eje de interés. (Es un poco más complicado que eso, pero la diferencia no es importante para esta pregunta.) $R_{\perp}$ es un valor determinado en función de cada $\delta m$. La suma que quieres hacer se considera cada $\delta m$, no cada una de las $R_{\perp}$. (En ciertas simetrías, la suma puede ser simplificado, pero usted me preguntó sobre el conceptual razón para sumar más de las masas.)

Como reducir el volumen de $\delta V$ a un infinitesimal d$V$, la masa de $\delta m$ se convierte en d$m$, pero la distancia específica desde el eje $R_{\perp}$ no cambia en absoluto! Y así, $$\delta I \to \text{d}I = \text{d}m R_{\perp}^2 = \text{d}V \rho\left(\vec{r}\right) R_{\perp}^2.$$

La integración de este en todo el volumen, se agrega la contribución individual de cada pequeño volumen de la materia.