Toda una función que es real en el eje real y el mapa de la mitad superior del plano a la mitad superior del plano

Question

Supongamos que $f$ es toda una función que satisface $f(z)$ es real cuando se $z$ es real y si $Imz>0$$Imf(z)>0$. Demostrar que $f$ puede tener a lo sumo un cero y que el cero, si se produce, es real. Muestran también que si $f$ no tiene ningún cero, a continuación, $f$ es constante.

Por la asignación abierta teorema de los ceros no puede estar en la mitad superior del plano y creo que yo también necesitará usar Lioiville del teorema en algún momento, pero no podía lograr. Gracias por la ayuda.

Answer 1

Bueno, zhw ha dado una simple prueba de que hay más de un cero. Pero para aclarar cómo esto se deduce del Argumento de Principio:

Decir $r>0$ annd deje $\gamma(t)=re^{it}$$0\le t\le 1\pi$. Elija $r$ $f$ no tiene ningún cero en $\gamma$. Deje $$\Gamma = f\circ \gamma.$$

Ahora$\Im\Gamma(t)>0$$0<t<\pi$$\Im\Gamma(t)<0$$\pi<t<2\pi$. Por lo tanto el índice, o de liquidación número de $\Gamma$ sobre el origen está en la mayoría de los $1$. Pero este índice es exactamente $\int_\gamma f'/f$. Por lo $f$ tiene al menos un cero en el disco $|z|<r$. Vamos $r\to\infty$: $f$ tiene al menos un cero.

Y ahora por lo que he dicho se trata de mostrar que el $f$ es constante si no tiene cero: Supongamos $f$ no tiene ningún cero. Existe toda una función de $g$ tal que $$f=e^g=e^{u+iv}.$$ Now if $\Im z>0$ then $\Im f(z)>0$, hence $$v(z)\in\bigcup_{n\in\Bbb Z}(2\pi n,2\pi(n+1))\quad(\Im z>0).$$By continuity (noting the upper half-plane is connected) there exists $n$ so $$v(z)\in(2\pi n,2\pi(n+1))\quad(\Im z>0).$$So $v$ is bounded in the upper half plane. Similarly $v$ is bounded in the lower half plane. And $v$ is constant on $\Bbb R$, so $v$ is bounded. Hence $g(\Bbb C)$ is not dense in $\Bbb C$; now a simple corollary of Liouville shows that $g$ es constante.

Answer 2

Una forma de ver $f$ tiene al menos un cero: Si $f'(a) = 0$ real $a,$ el poder de la serie de $f$ $a$ se parece a $ f(a) + c(z-a)^n(1 + O(z-a)),$ $c\ne 0$ $n>1.$ ello Se desprende que no es $t\in (0,\pi)$ tal que $\text {Im}\, f(a+re^{it})<0$ pequeña $r>0,$ contradicción. Por lo $f$ restringido a $\mathbb {R}$ es real con $f'$ valor distinto de cero en $\mathbb {R}.$ por lo tanto $f$ es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en a $\mathbb {R}.$ por lo Tanto $f$ tiene al menos un cero en $\mathbb {R},$ y, por tanto, en $\mathbb {C}.$

A partir de la teoría integral de Poisson, podemos concluir más en este problema: las únicas soluciones son de la forma $f(z)=a+bz,$ donde $a\in \mathbb R ,b>0.$ a Prueba de dibujo: Supongamos $u$ es positivo y armónico en el abierto de la unidad de disco $D$ $u\in C(\overline D \setminus \{1\})$ $u = 0$ $\partial D \setminus \{1\}.$ $u$ es la integral de Poisson de un positivo medida de Borel en $\partial D,$ y el porque de la frontera hipótesis, de que medida es un punto de masa en $1.$ Que implica la $u$ es un número constante de veces la de Poisson kernel propio (basado en $1$). A continuación, puede transferir este resultado a la mitad superior del plano a través de un estándar de conformación del mapa. El núcleo de Poisson arriba por arte de magia se transforman en la función de $y$ (o un número constante de veces). Así, en nuestro problema, $\text {Im}\,f(x+iy) = by$ algunos $b>0,$ y el resto de la siguiente manera.