El Teorema de Noether: Fundamentos

Question

Me pregunto en qué principios del teorema de Noether pies. Más precisamente:

La acción es un funcional en los campos. ¿Por qué consideramos a continuación las variaciones de la espacio de tiempo demasiado? En principio cuidadosas consideraciones, sin embargo, parecen desenredar especial variaciones del campo. Entonces, ¿qué está pasando aquí realmente?

Answer 1

En un comentario escribe

espacio de tiempo simetrías no encajan en el marco de la acción ya que la acción es un funcional en los campos sólo no también en el espacio de tiempo (un espacio de tiempo aquí apenas aparece como una variable ficticia

Esto no es del todo correcto. Un determinado espacio-tiempo de transformación a menudo induce una transformación en campos de sí mismos, y de esta manera, el espacio-tiempo de las transformaciones encajar en el marco de la acción.

Esto es más fácilmente y de forma explícita se ilustra por medio de un ejemplo sencillo.

Ejemplo. Considere la posibilidad de una teoría de un solo campo escalar en $\mathbb R^{3,1}$ (espacio de Minkowski). Deje $\mathcal F$ denotar el espacio de los campos considerados en la teoría (que por lo general consiste de, por ejemplo, la suavidad hipótesis y suposiciones sobre el comportamiento de los campos en el infinito). La acción funcional será una función de $S:\mathcal F\to \mathbb R$.

Ahora, por un lado, el grupo de Lorentz $\mathrm{SO}(3,1)$ actúa de una manera natural en $\mathbb R^{3,1}$, es decir, a través de la acción del grupo $\rho:\mathrm{SO}(3,1)\to \mathrm{Sym}(\mathbb R^{3,1})$ define de la siguiente manera: \begin{align} \rho(\Lambda)(x) = \Lambda x, \end{align} donde $\mathrm{Sym}(S)$ denota el conjunto de bijections en un conjunto $S$. Por otro lado, este grupo de acción induce una acción $\rho_\mathcal F$$\mathrm{SO}(3,1)$$\mathcal F$, el espacio de configuraciones del campo, de la siguiente manera: \begin{align} \rho_\mathcal F(\Lambda)(\phi)(x) = \phi(\Lambda^{-1} x), \end{align} que es a veces escrito como $\phi'(x) = \phi(\Lambda^{-1} x)$ por razones de brevedad. Esta es la acción de $\mathrm{SO}(3,1)$ sobre los campos que se podría utilizar para el ajuste espacio-tiempo simetrías en el marco de acción. En particular, en este caso podríamos decir que, por ejemplo, $S$ es de Lorentz-invariante siempre \begin{align} S[\rho_\mathcal F(\Lambda)(\phi)] = S[\phi] \end{align} para todos los $\Lambda\in\mathrm{SO}(3,1)$, y para todos los $\phi\in\mathcal F$. Todo esto también puede ser extendido fácilmente a las teorías de los campos más complicados tipos, como la del vector y tensor de campos. En tales casos, la acción $\rho_\mathcal F$ va a ser en general más complicado porque va a contener un objetivo de la transformación del espacio.