¿Feynman calculó mentalmente $\sqrt[3]{1729.03}$ por aproximación lineal?

Question

En la película biográfica " infinito "sobre Richard Feynman. (12:54) Calcula $\sqrt[3]{1729.03}$ por cálculo mental. Supongo que utiliza la aproximación lineal. Es decir, observa que $1728=12^3$ . Sea $f(x)=\sqrt[3]{x}$ . Entonces $f'(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ y $f'(1728)=\frac{1}{3\sqrt[3]{1728^2}}=\frac{1}{3\cdot 12^2}$ . Por lo tanto, $$\sqrt[3]{1729.03}=f(1729.03)\approx f(1728)+f'(1728)(1729.03-1728)=12+\frac{1.03}{3\cdot 12^2}=12.002384\overline{259}.$$

Pregunta 1. Si utilizó la aproximación lineal, ¿cómo calculó $\frac{1.03}{3\cdot 12^2}=0.002384\overline{259}$ por un cálculo mental?

Pregunta 2. Si no utilizó la aproximación lineal, ¿cuál es otro método que podría haber utilizado?

Answer 1

Feynman cuenta la historia en uno de sus libros de anécdotas.

http://www.ee.ryerson.ca/~elf/abacus/feynman.html

$12$ es una muy buena primera aproximación y el término lineal de la expansión de la serie es suficiente para obtener una alta precisión.

$$ \sqrt[3]{1728 + d} = 12\sqrt[3]{1+x} = 12 + 4x + O(x^2)$$

donde $d = 1.03$ y $x = \frac{d}{1728}$ es, en palabras de Feynman, aproximadamente 1 parte en 2000, por lo que el término de error es del orden $10^{-6}$ .

Feynman dice que calculó $12 + \frac{4d}{1728}$ como valor aproximado.

El número era 1729,03. Resulta que sabía que un pie cúbico contiene 1728 pulgadas cúbicas, así que la respuesta es un poco más de 12. El exceso, 1,03, es sólo una parte en casi 2000, y yo había aprendido en cálculo que para las fracciones pequeñas, el exceso de la raíz cúbica es un tercio del exceso del número. Así que todo lo que tenía que hacer era encontrar la fracción 1/1728, y multiplicar por 4 (dividir por 3 y multiplicar por 12). Así pude sacar un montón de dígitos de esa manera.

Lo describe como si $d=1$ para esta parte del cálculo, así que tal vez $12 + \frac{1}{432}$ fue lo que realmente computó. Al decir "añadir dos dígitos más" (a 12,002) parece referirse a calcular la división en la fracción. También podría significar añadir (0,03)/432 como dos dígitos decimales más de precisión a $(12 + 432^{-1})$ que sólo requiere una multiplicación por 3 de una cantidad ya calculada 1/432.

El método de Feynman es el que habría sido inmediato para cualquier persona familiarizada con las series binomiales y con $12^3 = 1728$ . Dijo que conocía este último como ft^3/in^3 y que otras personas podrían conocerlo por la historia de Ramanujan de 1729. El otro ingrediente, como dice Feynman en la historia, era ser bueno en la división de enteros.

Answer 2

He votado la otra respuesta ya que proviene del otro libro de anécdotas, pero una forma de calcular esto sin la experiencia de Feynman podría ser la siguiente.

Se puede empezar con la aproximación lineal, y luego hay que calcular $(\dfrac{1.03}{3})/12^2$ . $\dfrac{1.03}{3}\approx .34333$ pero eso no se presta a la división por $12^2$ Así que puedes cambiar el último dígito para obtener $\dfrac{1.03}{3}\approx .34332$

(Se sabe que esto será útil por la prueba de divisibilidad de $3$ y puede notar que también es divisible por $2$ y $4$ si piensas en el futuro).

Entonces $\dfrac{.34332}{12^2}=\dfrac{.05722}{12*2}=\dfrac{.02861}{12}\approx.002384$ .