Encontrar una forma cerrada de expresión para $\sum_{i=1}^{n-1}\csc{\frac{i\pi}{n}}$

Question

Considere la posibilidad de $\displaystyle{S = \sum_{k = 1}^{n - 1}\csc\left(k\,{\pi \sobre n}\right) = \frac{1}{\sin\left(\pi/n\right)} + \frac{1}{\sin\left(2\pi/n\right)} + \frac{1}{\sin\left(3\pi/n\right)} + \cdots + \frac{1}{\sin\left(\left[n - 1\right]\pi/n\right)}}$

¿Cómo podemos encontrar una fórmula general para $S$ el uso de la trigonometría identidades o los números complejos ?.

Answer 1

Vamos que asumir primero que $n$ es un número impar, $n=2N+1$. En tal caso, la suma es $$ \sum_{k=1}^{2N}\frac{1}{\sin\left(\frac{\pi k}{2N+1}\right)} = 2\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{\sin\left(\frac{\pi k}{2N+1}\right)}=\frac{4N+2}{\pi}H_N+2\sum_{k=1}^{N}\left[\frac{1}{\sin\left(\frac{\pi k}{2N+1}\right)}-\frac{1}{\frac{\pi k}{2N+1}}\right] $$ y $\frac{1}{\sin(x)}-\frac{1}{x}$ es una función integrable en el intervalo de $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$, cuya integral es igual a $\log\frac{4}{\pi}$.$^{(*)}$
Por las sumas de Riemann se sigue que: $$ \sum_{k=1}^{2N}\frac{1}{\sin\left(\frac{\pi k}{2N+1}\right)} = \frac{4N}{\pi}\left[H_N+\log\frac{4}{\pi}\right]+O(\log N).$$ En el caso general, tenemos que la suma se comporta como $Cn\log n$.

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$^{(*)}$ Desde $\text{Res}\left(\frac{1}{\sin x},x=k\pi\right)=(-1)^k$, por Herglotz' truco que hemos $$\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}=\sum_{k\geq 1}\left(\frac{1}{x-k\pi}+\frac{1}{x+k\pi}\right)(-1)^k $$ y por termwise integración $$ \int_{0}^{\pi/2}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}\right)\,dx = \sum_{k\geq 1}(-1)^k \log\left(1-\frac{1}{4k^2}\right) $$ por lo $I=\log\frac{4}{\pi}$ mediante la simplificación de las sumas parciales de la última serie y recordando Wallis producto.