Demostrar que $0 < x < y$ implica $\|x\| < \|y\|$ para cualquier norma.

Question

Todos los vectores que son reales. Demostrar que $0 < x < y$ (elemento-wise) implica $\|x\| < \|y\|$ para cualquier norma. Esta es, probablemente, muy básica, pero no me parece para obtener el cuelgue de ella.

Edit: resulta que esto no es cierto.

Este es el primer cuadrante de vista de la unidad de la bola de la norma sugerida por @Daniel Fischer, que viole esta.

Answer 1

Esto no es cierto. Considere la posibilidad de $\mathbb{R}^2$ con la norma

$$\lVert (x,y)\rVert = \sqrt{\tfrac{1}{2}(x+y)^2 + 100(x-y)^2},$$

y ver el$\left(\frac{3}{4},\frac{1}{2}\right)$$(1,1)$. Se puede generalizar este ejemplo arbitraria de las dimensiones.

Answer 2

En la configuración de Banach celosías esto no es cierto:

tome $x=(1-\tfrac{1}{n})_{n=1}^\infty, y = (1)_{n=1}^\infty\in \ell_\infty$. A continuación, $x<y$ pero $\|x\|=\|y\|=1$.

Answer 3

Esto se aplica en $\mathbb R^n$ equipada con el $L^p$ norma si $1 \leq p < \infty$, mientras que esto no si $p = \infty$.