Esta identificación de los rendimientos de una botella de Klein. En particular, se puede pensar en la segmentación del toro a la mitad de espacio que pasa por el origen, entonces la identificación de los círculos de la corte por el límite de este plano en una manera apropiada, y viendo que los dos círculos se supone que uno debe identificar, orientadas en direcciones opuestas.
Más formalmente, vamos a definir un toro por las coordenadas $(\theta,\psi)$ el envío de un par de estos a las coordenadas $$(R\sin(\theta)+r\cos(\psi)\sin(\theta),R\cos(\theta)+r\cos(\psi)\cos(\theta),r\sin(\psi)).$$
Se puede observar que su identificación identifica los pares de $(\theta_1,\psi_1)$ $(\theta_2,\psi_2)$ donde$\theta_2-\theta_1=\pi$$\psi_1=-\psi_2$, teniendo estas ecuaciones mod $2\pi$. En particular, se puede ver rápidamente que, cada punto de este espacio cociente tiene un único representante con $\theta\in [0,\pi)$ $\psi\in [0,2\pi)$ y podemos ver que los puntos de la forma $(\pi,\psi)$ corresponden a los de la forma $(\pi,-\psi)$ y de la forma $(\theta,2\pi)$ corresponden a $(\theta,0)$. En particular, uno ve que este espacio es el cuadrado de $[0,\pi]\times [0,2\pi]$ logrado mediante la identificación de los bordes superior e inferior en la misma dirección, y los bordes izquierdo y derecho en direcciones opuestas, lo que es una botella de Klein.
