Bebé Rudin Def. 1.1 s y el Teorema 1.11, confundido

Question

En bebé Rudin tenemos la definición y teoremas:

Definición 1.10 Un conjunto ordenado $S$ se dice que el $\it{least}$-$\it{upper}$-$\it{bound \hspace{1mm}property}$ si se cumple lo siguiente: Si $E\subset S$, $E$ no está vacío, y $E$ está acotada arriba, a continuación, $sup(E)$ existe en $S$.

Teorema 1.11 Supongamos $S$ es un conjunto ordenado con el $\it{least}$-$\it{upper}$-$\it{bound \hspace{1mm}property}$, $B \subset S$, $B$ no está vacío, y $B$ delimitada por debajo. Deje $L$ ser el conjunto de todas las cotas inferiores de a $B$. A continuación, $ \alpha = sup(L) $ existe en $S$, e $\alpha = inf(B)$. En particular, $inf(B)$ existe en $S$.

Mi pregunta es ¿cuál es la importancia de asumir la $S$ tiene la LUB de la propiedad? En particular, dado que el teorema se supone que $S$ tiene la LUB de la propiedad hace que implica que no existe otro conjunto $E$ (el mismo de la definición), además de los conjuntos de $B$ $L$ - es el conjunto de $L$ el mismo que el conjunto $E$, o es el conjunto $B$ el mismo que el conjunto $E$? Lo que me confunde es que el teorema se hace referencia al conjunto de $S$ tener la LUB propiedad-la propiedad de que el conjunto de $E$ está delimitado $\it{above}$, mientras que en el teorema hace referencia al conjunto de $B$ con casi las mismas propiedades que el conjunto $E$, al igual que a excepción del último, que es $B$ está delimitado $\it{below}$. Mi mejor conjetura es que los conjuntos de $E$ a partir de la definición es el conjunto $L$ en el teorema, ¿alguien puede confirmar o aclarar esto? Gracias de antemano.

Answer 1

El punto de que el Teorema es mostrar que un conjunto tiene la menor cota superior de la propiedad, si y sólo si tiene el mayor límite inferior de la propiedad (técnicamente se muestra sólo en una dirección; la dirección inversa, es casi idéntico).

El objetivo es, dado un conjunto arbitrario $B\subset S$ que tiene algún límite inferior, para mostrar que $B$ tiene un mayor límite inferior. Para ello, consideremos el conjunto $$ E=\{s\in S: S\text{ es un límite inferior para }B\}. $$ ¿Qué podemos decir acerca de $E$? Sabemos que no es vacío, ya que por suposición $B$ fue delimitada a continuación. Además, está delimitada por encima de cualquier punto de $B$. Por lo tanto, podemos aplicar la menor cota superior de la propiedad para el conjunto de $E$. ¿Qué conclusión podemos sacar de allí?

Answer 2

Usted se confunde a sí mismo por considerar E a partir de la definición y cómo se relaciona en el teorema.

En la definición, E puede ser cualquier subconjunto de un conjunto ordenado que llamamos S. quiero que olvidarse de Correo, y creo que, cualquier subconjunto de S, pero también aquellos que cumplan con los criterios establecidos en la definición.

Ahora, En el teorema, B es un subconjunto de S, y S es un conjunto ordenado. Reclamo: L consiste de puntos en S también, L es un subconjunto de S que no está vacío. Explicación: B no está vacía, por supuesto, ordenando hay un elemento más pequeño, por lo tanto B es acotado a continuación. Ahora vemos que L no está vacío. Creo que se puede tomar desde aquí.