Supongamos que dos variables aleatorias $X_1$ $X_2$ son de idéntica distribución independiente, con el mismo PDF $f(x) = e^{-x}, \space x>0$. Ahora, tenemos $$Y_1=\min(X_1, X_2)$$ $$Y_2=\max(X_1, X_2)$$ $$Y_3=Y_2 - Y_1$$ El problema es determinar si $Y_1$ $Y_3$ son independientes, y demostrar por qué. Por desgracia, no tengo idea de cómo demostrarlo. Sólo tengo la noción de $f(X_1X_2)=f(X_1)f(X_2)$ $X_1$ $X_2$ independiente. Por favor me ayude.
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La forma más sencilla de mostrar la independencia es para calcular la articulación complementaria de la función de distribución acumulativa y que factores: $$\begin{eqnarray} \Pr(Y_1 > y_1, Y_3 > y_3) &=& \Pr(\min(X_1,X_2) > y_1, \max(X_1,X_2) > y_3 + \min(X_1,X_2)) \\ &=& \Pr(X_1>y_1, X_2 > y_3+X_1 , X_2>X_1) + \\ && \Pr(X_2>y_1, X_1 > y_3+X_2, X_1\geqslant X_2) \end{eqnarray} $$ donde disjointness de eventos $\{X_2 > X_1\}$ $\{X_1 \geqslant X_2\}$ fue utilizado en el último paso. Asumiendo $y_3 > 0$ y $y_1>0$, $$\begin{eqnarray} \Pr(X_1>y_1, X_2 > y_3+X_1, X_2>X_1) &=& \Pr(X_1>y_1, X_2 > y_3+X_1) \\ &=& \int_{y_1}^\infty \mathrm{d}x_1 \exp(-x_1) \int_{y_3+x_1}^\infty \exp(-x_2) \mathrm{d}x_2 \\ &=& \int_{y_1}^\infty \mathrm{d}x_1 \exp(-2 x_1 - y_3) \\ &=& \frac{1}{2} \exp(-y_3-2y_1) \end{eqnarray} $$ Por simetría $\Pr(X_2>y_1, X_1 > y_3+X_2, X_1\geqslant X_2)$ tiene el mismo valor. Por lo tanto $$ \Pr(Y_1 > y_1, Y_3 > y_3) = \exp(-y_3) \cdot \exp(-2y_1) $$ y la independencia de la siguiente manera.
