No convergencia de series de Taylor de $1/(1-x)$

Question

A partir de mis propios cálculos con la serie de Maclaurin y doble comprobación en línea, obtengo el resultado que:

$$ {1 \over 1 - x} = \sum_{n=0}^\infty x^n $$

Esto parece ser cierto para $ -1 \lt x \lt 1 $, pero para valores fuera de este rango, puedo obtener algunos resultados extraños. Por ejemplo, cuando se intenta poner $ x=2 $ en la ecuación, me sale:

$$ {1 \over 1 - 2} = -1 \\ \sum_{n=0}^\infty 2^n = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + \cdots = \text{indeterminado} \\ $$

¿Por qué esta igualdad sólo se aplican en este rango estrecho, aunque $ 1 \over 1 -x $ está definida para cualquier $ x \ne 1 $?

Answer 1

Hay Suma de los Métodos para la serie que, en virtud de la definición habitual de la convergencia, no convergen. Algunos de estos métodos han aplicaciones.

La lista de tales suma de los métodos es muy largo: de sumación de Euler, Cesaro suma, Abel suma, Borel suma, muchos otros. He mencionado estos para que vean que los matemáticos de primer nivel han considerado este tipo de problema.

Algunos métodos de hacer realmente asignar suma $-1$$1+2+4+\cdots$. El ordinario de la regla de álgebra que la suma de números positivos es positivo se rompe por cualquier método de la sumación. Por lo tanto, si hacemos uso de un método de la sumación, debemos ser muy cuidadosos. Por el contrario, hacer lo que es natural que se suele corregir con suma como se define en la forma habitual.

El campo es muy grande. Para un comienzo, puede que quieras empezar aquí y en la persecución de algunas de las referencias.

Answer 2

Se puede conseguir que la fórmula mediante la adopción de un límite:

$$ \lim_{n\to \infty}\frac{1-x^n}{1-x}, $$

donde el $x$ proviene de la suma finita

$$ 1+x+x^2+x^3+\cdots +x^n. $$

Pero, este límite sólo existe cuando se $-1<x<1$. Creo que esto es a veces conocido como Gauss de la fórmula de la suma. Así, su igualdad sólo se aplica en estos casos.

Answer 3

Debido a que la función sopla---es decir, los enfoques $\infty$- - - $x$ enfoques $1$. El centro, que está en expansión es $0$, es decir, tienes $\sum\limits_{n=0}^\infty (x-0)^n$, y la distancia desde el centro al punto más cercano en el plano complejo donde la función de golpes es el radio de convergencia. De llegar más lejos desde el centro de eso y la serie diverge.

Answer 4

Creo que todas las respuestas anteriores son bastantes, pero creo que esto le ayudará a entender demasiado. Si nos fijamos en $$y = \frac{1}{1+x^2}$$ podemos mostrar que la expansión es

$$y = \sum (-x)^{2k}$$

Pero luego pensamos.... ¿por qué es que esta suma es convergente para $|x|<1$ si la función es continua y diferenciable en todas partes? ¿Por qué esta suma se comportan de esta manera cuando la función como tal, un buen comportamiento, en contraste con $(1-x)^{-1}$ o $(1+x)^{-1}$?

Si pensamos en un "complejo" de manera, vemos que

$$y = \frac{1}{1+z^2}$$ doesn't behave that well. Indeed, it has poles at $z = i$ and $z=-i$. Thus when we think about the unit circle $|z| < 1$ las cosas "hacer sentido".

Puedes leer un poco sobre un resultado debido a Abel:

Si $\sum a_n z^n$ converge para $z \neq 0 = z_1$

1. Converge absolutamente para todos los $z$ tal que $|z| < |z_1|$.
2. Converge unformly en todo el disco circular con centro en $0$ y radio de $r<|z_1|$
3. Se aparta de todos los $|z| > |z_2|$ si se aparta de $z_2$.

El teorema se reduce a intervalos, cuando tratamos con números reales. (consulte Apostol de Cálculo del Capítulo 11 para obtener más información.)

Espero que esto ayude.