Cómo probar directamente que $M$ es el ideal maximal de a $A$ fib $A/M$ es un campo?

Question

Ideal $M$ de un anillo conmutativo $A$ (con la unidad) es la máxima iff $A/M$ es un campo.

Esto es fácil con la correspondencia de los ideales de la $A/I$ con los ideales de $A$ contiene $I$, pero ¿cómo se puede demostrar directamente? Tome $x + M \in A/M$. ¿Cómo se puede construir $y + M \in A/M$ tal que $xy - 1 \in M$? Todo lo que puedo deducir, a partir de la maximality de $M$ es que el $(M,x) = A$.

Answer 1

De$(M,x)=A$, se puede inferir que hay$m\in M, y\in A$, de modo que $m+xy=1$. Por lo tanto, $xy+M=1+M$.

Answer 2

Desde $(M,x)=A$, usted tiene que $1\in (M,x)$. Los elementos de $(M,x)$ son expresiones de la forma $$am+bx$$ donde $a,b\in A$ $m\in M$ (por supuesto, desde la $M$ es un ideal, de hecho hemos $am\in M$).

Por lo tanto, si $1\in (M,x)$, existe un $m\in M$ e una $y\in A$ tal que $$1=m+xy$$ y modding por $M$, obtenemos que $$1+M = (x+M)(y+M).$$

Answer 3

Sugerencia: $\ \exists\: y:\ xy-1\in M\: \iff\: (x) + M \:=\: (1),\: $ que es cierto que desde $M$ es máxima y $x\not\in M$