Encontrar la derivada en (1,2)

Question

$$f(x) = x^2 \sqrt{5 - x^2}$$

Encontrar la derivada en $(1, 2)$.

\begin{align} \frac{d}{dx} \left[ x^2 \sqrt{5 - x^2} \right] & = \frac{d}{dx} \left[ x^2 (5 - x^2)^{1/2} \right] \\ & = x^2 \frac12 (5 - x^2)^{-1/2}(-2x) + (5 - x^2)^{1/2}(2x) \end{align}

La ecuación está formada con el producto de la regla y de la regla de la cadena. El autor explicó que $(-2x)$ se insertó como "multiplicar como el interior de derivados", y $(2x)$, como la derivada de la primera legislatura.

Supongo que el siguiente: $(-2x)$ es la derivada de la parte interna de derivados, que es $(5-x^2)$. $(2x)$ es el derivado de la $x^2$.

Mi pregunta es, ¿por qué no $(-2x)$ multiplicado por la 2ª parte de la ecuación (después de la $+$ señal)?

Answer 1

Porque esa es la parte donde el externo $x^2$ es diferenciada

$$(fg)'=f'g+fg'$$

Aquí $f=x^2$$g=\sqrt{5-x^2}$, lo $f'=2x$$g'=-2x(5-x^2)^{-1/2}$, por lo tanto el resultado, la segunda parte de la ecuación es $f'g$

Answer 2

El $-2x$ es la derivada del argumento, en el radical, $5-x^2$.

El $2x$ es la derivada de la izquierda plazo fuera de los radicales, $x^2$. Para el segundo término de la derivada se toma la derecha multiplicand / multiplicando como-es.

Answer 3

Vamos a echar un paso atrás y pensar en lo que producto de la regla de los estados: $$\frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

el $-2x$ es el resultado de la aplicación de la regla de la cadena a la función de raíz cuadrada en su problema. Por simplicidad, decir $$f(x) = x^2, g(x) = \sqrt{5-x^2}$$ Dado que el término en el lado izquierdo de su derivado incluye $x^2$ o $f(x)$, podemos concluir que el lado izquierdo es el $f(x)g'(x)$ término de la derivada.

Answer 4

Vamos $p(x)=x^2$, $q(x)=\sqrt{x}$ y $r(x)=5-x^2$. A continuación, $(p(x)\cdot q(r(x))^\prime = (q(r(x)))^\prime\cdot p(x) + q(r(x)) \cdot p^\prime(x) = q^\prime(r(x))\cdot r^\prime(x)\cdot p(x) + q(r(x)) \cdot p^\prime(x)$

Answer 5

La derivada en realidad lee $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$$u(x)=x^2$$v(x)=\sqrt{5-x^2}$.

Para$u(x)$,$u'(x)=2x$.

Para $v(x)$, podemos reescribir $v(x)=f(g(x))$ donde$f(t)=\sqrt{t}$$g(x)=5-x^2$, por lo que el $v'(x)=g'(x)f'(g(x))=-\frac{2x}{2\sqrt{5-x^2}}$.

Por lo tanto $f'(x)=2x\sqrt{5-x^2}-(x^2)(-\frac{2x}{2\sqrt{5-x^2}})=2x\sqrt{5-x^2}+x^2\frac{2x}{2\sqrt{5-x^2}}$, que es la ecuación mostrada.