$ \limsup $ y los límites en el espacio topológico

Question

Estoy tratando de generalizar un resultado que se mantenga para los espacios métricos. Dejemos que $(X, \tau )$ ser un espacio topológico y $f:X \to \mathbb {R}$ . Si $x_0 \in X$ es un punto límite de $X$ define

$$ \limsup_ {x \to x_0} f(x) = \inf\left\ { \sup_ {x \in U \setminus \{x_0\}} f(x) \mid U \in \tau , U \setminus \{x_0\} \neq \emptyset\right\ }$$

Para $f:X \to \mathbb {C}$ ¿Es cierta la siguiente declaración?

$$ \lim_ {x \to x_0} f(x) = c \iff \limsup_ {x \to x_0} |f(x) - c| = 0$$

Aquí $ \lim_ {x \to x_0} f(x) = c$ se interpreta como para cada red $ \langle x_j \rangle_ {j \in M} \to x, \langle f(x_j) \rangle_ {j \in M} \to c$ . Sé que es cierto para los espacios métricos, pero ¿puede generalizarse para los espacios topológicos? Creo que $T_2$ La condición es necesaria en $(X, \tau )$ .

Hechos conocidos que pueden ayudar: $f:X \to Y$ es continua en $x \in X$ iff por cada red $ \langle x_j \rangle_ {j \in M}$ convergiendo a $x$ , $ \langle f(x_j) \rangle_ {j \in M}$ converge en $f(x)$ .

Answer 1

Pensar que

$$ \varepsilon (U) := \sup_ {x \in U \setminus\ {x_0\}} |f(x) - c| $$

es esencialmente el más pequeño posible $ \epsilon $ en el $ \epsilon $ - $ \delta $ definición, la prueba parece sencilla:

Si $ \inf_U \varepsilon (U) = 0$ entonces para cualquier $ \epsilon > 0$ existe un vecindario $U$ de tal manera que $ \varepsilon (U) < \epsilon $ . Esto demuestra $f(x) \to c$ como $x \to x_0$ .

Si $f(x) \to c$ como $x \to x_0$ entonces para cualquier $ \epsilon > 0$ existe un vecindario $V$ de tal manera que $|f(x) - c| < \epsilon $ para $x \in V \setminus\ { x_0\}$ . Esto da $ \inf_U \varepsilon (U) \leq \varepsilon (V) \leq \epsilon $ y la demanda sigue dejando $ \epsilon \downarrow 0$ .