Argumento combinatorio de por qué $C(n, k) = C(n, n - k)$ ?

Question

Dé un argumento combinatorio para demostrar que $$C(n, k) = C(n, n - k).$$

¿Alguna ayuda, por favor?

Answer 1

Elija $k$ de un conjunto de $n$ y eliminarlos del conjunto; se puede considerar esto como haber elegido el $n-k$ objetos que dejaste atrás.

Si quiere ser más técnico al respecto, deje que $\mathscr{K}$ sea el conjunto de todos los $k$ -subconjuntos de elementos de $\{1,\dots,n\}$ y que $\mathscr{C}$ sea el conjunto de todos los $(n-k)$ -subconjuntos de elementos de $\{1,\dots,n\}$ . El mapa

$$\varphi:\mathscr{K}\to\mathscr{C}:K\mapsto\{1,\dots,n\}\setminus K$$

es una biyección.

Añadido: Supongamos que $n=5$ y $k=2$ . La siguiente tabla muestra el emparejamiento natural de cada $2$ -subconjunto de elementos de $\{1,2,3,4,5\}$ con su $3$ -complemento del elemento:

$$\begin{array}{ccc} \{1,2\}&\longleftrightarrow&\{3,4,5\}\\ \{1,3\}&\longleftrightarrow&\{2,4,5\}\\ \{1,4\}&\longleftrightarrow&\{2,3,5\}\\ \{1,5\}&\longleftrightarrow&\{2,3,4\}\\ \{2,3\}&\longleftrightarrow&\{1,4,5\}\\ \{2,4\}&\longleftrightarrow&\{1,3,5\}\\ \{2,5\}&\longleftrightarrow&\{1,3,4\}\\ \{3,4\}&\longleftrightarrow&\{1,2,5\}\\ \{3,5\}&\longleftrightarrow&\{1,2,4\}\\ \{4,5\}&\longleftrightarrow&\{1,2,3\} \end{array}$$

Cuando eliges cualquiera de los conjuntos de la columna de la izquierda, implícitamente estás eligiendo también el conjunto complementario de la columna de la derecha: estás eligiendo dejarlo atrás.

Answer 2

A menudo, en los circuitos multicanal (un mismo circuito repetido varias veces), el primer dígito indicará el canal, mientras que los restantes indican el componente específico. Por ejemplo, R101, R201, R301... serán cada uno el "mismo" componente, pero en los canales 1, 2, 3...

Answer 3

Aquí hay una fácil. ${n\choose k}$ es el número de subconjuntos de tamaño $k$ de un conjunto de tamaño $n$ . Ahora mira a los no elegidos $n-k$ elementos. Cada subconjunto de tamaño $k$ genera un subconjunto de tamaño $n-k$ . Has terminado.

Answer 4

Una idea: todos y cada uno de los conjuntos con $\,k\,$ elementos de un conjunto con $\,n\ge k\,$ determina de forma única un conjunto con $\,n-k\,$ elementos, a saber: su complemento.

Answer 5

Ambos son iguales a $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ por definición (y por la conmutatividad de la multiplicación).