Ayuda con una forma bilineal.

Question

Deje que$a,b\in\mathbb{F}_{2^{m}}$ (un campo con la característica$2$, m es impar) Necesito demostrar que

$B(a,b)=tr(\displaystyle\sum_{i=1}^{(m-1)/2}(a+b)^{1+2^{i}})-tr(\displaystyle\sum_{i=1}^{(m-1)/2}a^{1+2^{i}})-tr(\displaystyle\sum_{i=1}^{(m-1)/2}b^{1+2^{i}}),$

donde$tr:\mathbb{F}_{2^{m}}\rightarrow\mathbb{F}_2$ es la función de rastreo, es una forma bilineal con rango completo.

Answer 1

La corrección de la argumentación para reflejar la nueva suma de rango. El estudiante de primer año del sueño implica (como al parecer había descubierto en la versión alternativa de esta pregunta) que para todos los $i$ y todos los $a,b$ hemos $$ (a+b)^{1+2^i}-a^{1+2^i} b^{1+2^i}=a^{2^i}b+ab^{2^i}. $$ Deje $m=2k+1$, lo $(m-1)/2=k$. Tendremos el hecho de que conjugan elementos tienen la misma traza: $tr(x)=tr(x^2)$. La iteración de esta relación $m-i$ veces da $$ tr(ab^{2^i})=tr(a^{2^{m-i}} b^{2^i})^{2^{m-i}})=tr(a^{2^{m-i}}b^{2^m})=tr(a^{2^{m-i}}b). $$ Por lo tanto, los tres sumatorias (olvídese de la traza aquí temporalmente) pueden ser combinados para leer $$ \sum_{i=1}^k(a^{2^i}b+ab^{2^i})=\left(\sum_{i=1}^k(a^{2^i}+a^{2^{m-i}})\right)b. $$ En la mano derecha de la suma de la que hay todos los conjugados de la $a$ aparte de $a$ sí. Por lo tanto $$ \sum_{i=1}^k(a^{2^i}+a^{2^{m-i}})=\sum_{i=0}^{m-1}^{2^i}-a=tr(a)-a=tr(a)+a, $$ y la forma bilineal es $$ B(a,b)=tr(tr(a)b+ab)=tr(ab)+tr(a)tr(b). $$ Vamos a demostrar que este bilineal formulario de máximo rango. Porque estamos en el carácter de los dos, la forma $B(a,b)$ también es simpléctica. Se sabe que el rango de una forma simpléctica es siempre igual. Aquí nuestro espacio de dimensión impar, por lo que el radical de la forma $$ R=\{b\in\mathbb{F}_{2^m}\mediados de B(a,b)=0\ \text{para todos los $a\in \mathbb{F}_{2^m}$}\} $$ debe ser de al menos uno-dimensional. De hecho, se observa que el $b=1$ es en el radical, como $$ B(a,1)=tr(a\cdot1)+tr(a)tr(1)=tr(a)+tr(a)\cdot m=tr(a)(1+2k+1)=0. $$ La tarea pendiente es así para mostrar que $R=\{0,1\}$. Así que vamos a $b\in\mathbb{F}_{2^m}$, $b\neq0,1$. Considerar la forma bilineal como una función polinómica de la primera variable $x$ $$ B(x,b)=tr(xb)+tr(x)tr(b)=\sum_{i=0}^{m-1}b^{2^i}x^{2^i}+\sum_{i=0}^{m-1}tr(b)x^{2^i} =\sum_{i=0}^{m-1}(tr(b)+b^{2^i})x^{2^i}. $$ Debido a $b\neq0,1$ aquí también tenemos $b^{2^{m-1}}\neq0,1$. Por lo tanto $tr(b)+b^{2^{m-1}}\neq0$ $B(x,b)$ es un polinomio de grado $2^{m-1}$ en el desconocido $x$. Por lo tanto, $B(x,b)=0$ en la mayoría de las $2^{m-1}$ valores de $x$. Como $a$ rangos de todos $\mathbb{F}_{2^m}$ se sigue que $B(a,b)\neq0$ algunos $a$. Q. E. D.