¿Estoy en lo correcto? Distancia cuando la velocidad depende de la posición

Question

Espero estar en el lugar adecuado para preguntar esto: estoy buscando alguien que sabe mejor que yo que pueda verificar si es o no he hecho las cosas correctamente. En el intento de implementar una función para un juego en el que estoy trabajando, me he encontrado con el siguiente problema (me disculpo si mi notación/términos se fuera, yo soy estrictamente amateur):

Supongamos que tengo un objeto que se mueve a través de una 1D línea durante un período de tiempo donde su posición en la línea que determina su velocidad instantánea como:

$$V(x) = v_i + { x \Delta v \over L}$$

Donde $V$ es la velocidad como una función de la posición, $L$ es la longitud de la línea, $v_i$ es la velocidad del objeto al principio de la línea (al $x = 0$) y $\Delta v$ es la diferencia entre la velocidad al final de la línea (al $x = L$) y la velocidad en el principio.

Quiero encontrar una función de $X(t)$ para determinar la posición del objeto dado una cantidad de tiempo usando la fórmula para la velocidad, que a su vez depende de la posición. Es simplemente la sustitución de $x = X(t)$ y el intento de integrar válido? (Acabo de empezar el aprendizaje del cálculo, así que no estoy del todo segura de lo que estoy haciendo)

$$V(X(t)) = v_i + { X(t) \Delta v \over L}$$

$$X(t) = \int(v_i + { X(t) \Delta v \over L})\,dt$$

Una vez traté de resolver, yo simplemente me:

$$X(t) = {tv_iL \over L - t\Delta v}$$

Es esto correcto? Me esperaba algunos términos para acabar con exponentes o algo más complicado, pero los números que he probado y parece estar bien. Como que se parece a mí como he multiplicado velocidad multiplicada por el tiempo, pero pensé que la velocidad no constante haría que incorrecto. O tal vez sólo he estado mirando la pantalla demasiado tiempo?

Correcciones e ideas apreciado, y gracias por tomarse el tiempo.

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Seguimiento:

He programado algunas pruebas y se obtuvieron los siguientes resultados

Dado: Longitud = 120, vi = 100, vf = 50; empezando en la posición 0 y se mueve por el tiempo de 5

• Aproximación: 210.1165 @ dT = 0,0005 x timesteps = 10000
• Mi Fórmula: 162.1622
• E. O. la Fórmula: 210.116524478485

Y ahora me voy a aprender acerca de las ecuaciones diferenciales!

Answer 1

La palabra que usted está probablemente en busca de resolver este problema es la ecuación diferencial. Como se escriben actualmente, la notación es algo confuso y es probablemente lo que puedas tropezar.

Primero vamos a reescribir $V$$\displaystyle\frac{dx}{dt}$. Para la generalidad vamos a sustituir los coeficientes de con $a$$b$. Entonces la ecuación se convierte en $$\frac{dx}{dt}=a+bx$$ Podemos arreglar esto para obtener $$\frac{1}{a/b+x}\frac{dx}{dt}=b$$ Luego nos integrar ambos lados con respecto a $t$ $$\begin{align*}\int\frac{1}{a/b+x}\frac{dx}{dt}dt&=\int b dt \\ \int\frac{1}{a/b+x}dx&=bt+c \\ \\ \log(a/b+x)&=bt+c \\\\ \frac ab+x&=e^{bt+c} \\ x&=Ae^{bt}-\frac ab \\\end{align*}$$ Queremos $x(0)=x_0$, por lo que $$x_0=Ae^0-\frac ab\to A=x_0+\frac ab$$ Por lo tanto, su ecuación general es $$x=\left(x_0+\frac ab\right)e^{bt}-\frac ab$$ Edit: En su caso particular, la ecuación es $$x=\left(x_0+\frac{v_i L}{\Delta v}\right)e^{t\Delta v/L}-\frac{v_i L}{\Delta v}$$ Edit 2: Como se señaló en los comentarios, esta es una solución para $\Delta v\ne0$. En el caso de que $\Delta v=0$ obtenemos la siguiente solución $$\begin{align*}\frac{dx}{dt}&=a \\ \int\frac{dx}{dt}dt&=\int adt \\ x&=ax+c \\ x&=ax+x_0\end{align*}$$ Así que la solución al $\Delta v=0$ es por lo tanto $$x=v_it+x_0$$