Ayuda con la segunda integral en un problema de fórmula integral de Cauchy.

Question

He estado tratando de hacer este problema por un tiempo:

El uso de Cauchy de la integral fórmula para evaluar $$\int_{-\infty}^\infty \frac{t\operatorname{sin}(\pi t)}{t^2+4}dt.$$

Me han incluido en $$\int_{-\infty}^\infty \frac{t\operatorname{sin}(\pi t)}{t^2+4}dt=\frac{1}{2i}\left(\int_{-\infty}^\infty \frac{te^{i\pi t}}{t^2+4}dt-\int_{-\infty}^\infty \frac{te^{-i\pi t}}{t^2+4}dt\right).$$

Así que para la primera integral se supone que debo dividirlo en $\oint f dz - \int_{\gamma}f dz$ donde $f$ es el integrando de arriba y $\Gamma$ es un círculo de radio $R$ en la mitad superior del plano (ie $\gamma(t)=Re^{i\theta}:0\leq\theta<\pi$). Pero me parece que no puede evaluar la segunda integral en esta fórmula - la $\int_{\gamma}f dz$.

Estoy seguro de que esto es obvio, pero yo podría utilizar un poco de ayuda.

Answer 1

$$ \begin{align} \int_{-\infty}^\infty\frac{t\sin(\pi t)}{t^2+4}dt &=\frac1{2i}\int_{-\infty}^\infty\frac{te^{i\pi t}}{t^2+4}\mathrm{d}t -\frac1{2i}\int_{-\infty}^\infty\frac{te^{-i\pi t}}{t^2+4}\mathrm{d}t\tag{1}\\ &=\frac1{2i}\int_{\gamma^+}\frac{te^{i\pi t}}{t^2+4}\mathrm{d}t -\frac1{2i}\int_{\gamma^-}\frac{te^{-i\pi t}}{t^2+4}\mathrm{d}t\tag{2}\\ &=\frac{2\pi i}{2i}\left(\frac{2ie^{-2\pi}}{4i}\right) +\frac{2\pi i}{2i}\left(\frac{-2ie^{-2\pi}}{-4i}\right)\tag{3}\\ &=\pi e^{-2\pi}\tag{4} \end {align} $$$(1)\quad\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$

$(2)\quad\gamma^+$ sigue el eje real y los círculos en sentido contrario a las agujas del reloj a través del semiplano superior.

$\hphantom{(2)}\quad\gamma^-$ sigue el eje real y los círculos en sentido de las agujas del reloj a través de la mitad inferior del plano.

$(3)\quad$ evalúa los residuos en$+2i$ y$-2i$ y observa que$\gamma^-$ es en el sentido de las agujas del reloj.

Elegimos$\gamma^+$ para$e^{i\pi t}$ ya que$e^{i\pi t}$ decae en la mitad superior del plano. De manera similar,$e^{-i\pi t}$ decae en la mitad inferior del plano.