La pregunta que dice que hay una función de $f(x)$ que se asigna a$R$$R$, e $f''(x)>0$ para todo x.
Esto significa $f'(x)$ es siempre creciente.
Y es que
$$g(x)=2f\left(\frac{x^2}{2}\right)+f\left(6-x^2\right)$$
Tenemos que comprobar la monotonía de $g(x)$. Me calcular primero
$$g'(x)=2x\left(f'\left(\frac{x^2}{2}\right)-f'\left(6-x^2\right)\right)=2x(Q)$$
Dado que tanto $Q$ $x$ variar, tenemos que mantener, tanto en la mente.
También, si
$$f'(x_1)>f'(x_2)$$
$$x_1>x_2$$
Ahora viene el paso dudo. Supongo
$$Q=f'\left(\frac{x^2}{2}\right)-f'\left(6-x^2\right)=\left(\frac{x^2}{2}-\left(6-x^2\right)\right)R$$
donde $R$ es una cantidad positiva. Entonces compruebo donde $\left(\frac{x^2}{2}-\left(6-x^2\right)\right)$ $x$ son positivos y negativos, y llegar a una respuesta, que mi libro dice que es correcto.
Mi lógica detrás de $Q$ $R$ es que el es $(x_1-x_2)$ que las cuestiones que, en caso de ser negativo, hace $Q$ negativo.
Es esto correcto? En cualquier otra parte de "no-va-más de la cabeza" la manera de aplicar?
Respuestas
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Rob Dickerson
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Parece que tienes la idea correcta.
$Q$ es positivo si y solo si$x^2/2 > 6-x^2$, ya que$f'$ es un aumento monotónico. Entonces, para encontrar los intervalos donde$Q$ es positivo, puedes encontrar los intervalos donde$x^2/2 - (6-x^2)$ es positivo. Ese es el enfoque correcto.
Pero no es necesario involucrar directamente a ningún$R$.
La parte que dudas es correcta. De hecho, si$f:X\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ está estrictamente (!) Aumentando entonces para$x,y\in X$ con$x\neq y$,$$\frac{f(x)-f(y)}{x-y}=R>0$ $ Esto se debe a que$x>y$,$f(x)>f(y)$ así que$R>0$ y si$x<y$,$f(x)<f(y)$ y otra vez$R>0$.
Por lo tanto, para$x,y\in X$,$$f(x)-f(y)=R(x-y)\text{ with }R>0$ $ (esto es trivialmente cierto si$x=y$)
