De acuerdo con una definición de espacio de lente$L(p,q)$, que está pegando dos toros sólidos con un mapa$h:T^2_1 \rightarrow T^2_2$. Y$h(m_1)=pl_2+qm_2$,$l_i$ significa longitud y$m_i$ significa meridiano del toro límite. No puedo entender por qué$L(2,1)$ es homeomorfo para$\mathbb{R}P^3$. ¿Alguien puede darme algunos consejos? Gracias.
Respuestas
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Aquí está una especie de diagrama de argumento a partir de una vieja tarea para la casa:
Construcción $\mathbb{R}P^3$ como el cociente de $B^3 \subset \mathbb{R}^3$ bajo la antipodal mapa de $a: \partial B^3 \to \partial B^3$. Deje $K$ ser el nudo en $\mathbb{R}P^3$ obtenido como el cociente entre el segmento vertical $V=\{(0,0,z) \in \mathbb{R}^3 : -1 \leq z \leq 1\}$$B^3$. Como se muestra en la siguiente figura, una normal vecindario $N(K)$ $K \subset \mathbb{R}P^3$ es un sólido toro. Reclamamos su complemento es también una sólida toro. Como se muestra, no es una simple curva cerrada en $\partial N(K)$ que los límites de un disco incrustado $(D,\partial D) \subset (\mathbb{R}P^3 \setminus \mathring{N}(K), \partial N(K))$. La manipulación de la identificación diagrama (que no se muestra, pero logra cortando $B^3 \setminus V$ a lo largo del disco y pegar a través de la antipodal mapa en $S^2 \setminus \{(0,0,\pm 1)\}$), podemos ver que el complemento de este disco en $\mathbb{R}P^3 \setminus N(K)$ es una 3-bola. De ello se desprende que $\mathbb{R}P^3 \setminus \mathring{N}(K)$ es un sólido toro. Como se analiza a continuación la figura, se puede aplicar una media vuelta de tuerca a $\partial N(K)$ a identificar con un estándar de toro, teniendo en $\partial D$ $(2,1)$- curva en $\partial(S^1 \times D^2)$. Esta descomposición corresponde a un homeomorphism de $\mathbb{R}P^3$ a la lente de espacio $L(2,1)$. $\square$
A la izquierda: $\mathbb{R}P^3$ es representado como un cociente de la cerrada 3-bola de $B^3$ a través de la antipodal mapa de $a: \partial B^3 \to \partial B^3$. La línea vertical representa el nudo $K \subset \mathbb{R}P^3$. Medio: El nudo normal del vecindario $N(K)$ situado en el interior de $\mathbb{R}P^3$. El límite de $N(K)$, visto aquí como un punteado cilindro, es un toro. Se puede visualizar una deformación retractarse de $\mathbb{R}P^3 \setminus N(K)$ a los ecuatorial $\mathbb{R}P^1=S^1$ tomando sucesivamente "más grande" vecindarios $N(K)$. Derecha: vemos una simple curva cerrada en $\partial N(K)$ que delimita un disco en $\mathbb{R}P^3 \setminus K$. El antipodal mapa envía el "círculo superior" a la de "bajar" el círculo con una rotación por $\pi$, por lo que la representación de la curva se convierte en un $(2,1)$-curva en $\partial N(K)$.
Antonio Alfieri
Puntos
194
La curva de $\gamma= m_2 + 2 \ l_2$ límites de un Moibus tira de $M$ dentro del sólido torus $T_2\subset L(2,1)$ (se puede ver?) y un disco de dos $D$ dentro $T_1 \subset L(2,1)$. La unión de $S= D \cup M$ es un cerrado no-orientable superficie homeomórficos a $\mathbb{RP}^2$, y usted puede ver fácilmente que su complemento en $L(2,1)$ no es nada, pero una 3-bola.
Desde $L(2,1)$ es orientable mientras que $\mathbb{RP}^2$ no es normal paquete de $S$ dentro $L(2,1)$ es no trivial de la línea de paquete. Por lo tanto, una normal barrio de $S \subset L(2,1)$ es homeomórficos a $\mathbb{RP}^2 \tilde{\times} I$ (intervalo de paquete asociado a la única no-orientable línea paquete de más de $\mathbb{RP}^2$), y podemos concluir que $L(2,1)$ se obtiene a partir de a $\mathbb{RP}^2 \tilde{\times} I$ mediante el relleno de sus límites 2-esfera con una 3-bola.
Por otro lado, usted puede ver directamente que el normal barrio de $\mathbb{RP}^2 \subset \mathbb{RP}^3$ es homeomórficos a $\mathbb{RP}^2 \tilde{\times} I$ y que su complemento es homeomórficos a una 3-bola. Es decir, pensar $\mathbb{RP}^3$, ya que la unidad de la bola de $B^3(0,1)/\sim$ con el antipodal relación a su límite, y se descomponen como la unión de la bola de $B^3(0,1/2) \subset B^3(0,1)/\sim$ y su complemento (homeomórficos a un no-trivial intervalo paquete de más de $\mathbb{RP}^2 = \partial B^3(0,1)/\sim$).
Por lo tanto, $L(2,1)$ $\mathbb{RP}^3$ se obtienen a partir de $\mathbb{RP}^2 \tilde{\times} I$ mediante el relleno de sus límites 2-esfera con una 3-bola. Ahora, para concluir, sólo necesitamos un importante hecho básico de la topología diferencial: una 2-esfera límite componente de 3-colector puede ser tapado únicamente con una 3-bola.
