Supongamos$|f(z)|\leq 1/|y|$ para todos$z\in\mathbb{C}$. Aquí$f$ está completo y expresamos$z=x+iy$. Entonces, ¿es$f$ constante?
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Friedrich Philipp
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Deje $w\in\mathbb R$ $r > 0$ ser arbitraria. Deje $C$ ser el círculo en torno a $w$ radio $r$. Tenemos $$ \frac 1 {2\pi i}\int_C\frac{f(z)}{z-w}\,dz = f(w)\quad\text{y}\quad\frac 1 {2\pi i}\int_C(z-w)f(z)\,dz = 0. $$ Por lo tanto, $$ -f(w) = \frac 1 {2\pi i}\int_C\frac{r^{-2}(z-w)^2 - 1}{z-w}f(z)\,dz = \frac 1 {r^2}\cdot\frac 1 {2\pi i}\int_C\frac{(z-w)^2 - r^2}{z-w}f(z)\,dz. $$ Ahora, desde la $\left|\frac{(z-w)^2 - r^2}{z-w}\right| = 2|\operatorname{Im}z|$$z\in C$, llegamos a la conclusión de que $$ |f(w)|\,\le\,\frac 1 {2\pi r^2}\cdot 2\pi r\cdot 2 = \frac 2 r. $$ Dejando $r\to\infty$ muestra $f(w) = 0$.
Por CIERTO: Aquí hay otra respuesta: Muestra Toda la Función está Acotada
Friedrich Philipp
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Una función como esta debe ser cero. De hecho, vamos a$g(z) := f(1/z)$,$z\neq 0$. Luego$|g(z)|\le\frac{|z|^2}{|y|}$, es decir,$|g(z)|\le\frac 1 {|\operatorname{Im} z|}$ para$z\in\mathbb D\setminus\{0\}$. De esto, se deduce que$z=0$ es (como máximo) un polo de$g$. A partir de aquí, debería ser fácil para ti deducir que$f = 0$.
