Una fórmula asintótica para la suma delimitada de primos.

Question

¿Cómo probar la siguiente fórmula asintótica ?:

$$ \ sum \ limits_ {p \ leq x} p \ sim \ frac {x ^ 2} {2 \ log x} $$

Estoy atascado y no sé por dónde empezar. Me han sugerido el uso de$\pi (x) = \frac{x}{\log x} + O\left( \frac{x}{\log ^2 x} \right) $. Pero no estoy seguro de cómo proceder.

Answer 1

Si$\displaystyle S(n) = \sum\limits_{p\leq n} p$, (suma de números primos que no exceda de$n$),

luego, mediante la fórmula de resumen de Abel , podemos escribir:

PS

Entonces, usando la estimación$$S(n) = n\pi(n) - \sum\limits_{j=2}^{n-1} \pi(j)$,

$\displaystyle \pi (x) = \frac{x}{\log x} + O\left( \frac{x}{\log ^2 x} \right)$ \ frac {x} {\ log x}$\begin{align}S(n) &= \frac{n^2}{\log n} + O\left(\frac{n^2}{\log^2 n}\right) - \sum\limits_{j=2}^{n-1} \frac{j}{\log j}\\&= \frac{n^2}{\log n} + O\left(\frac{n^2}{\log^2 n}\right) - \left(\int_{2}^{n} \frac{x}{\log x}\,dx + O\left(\frac{n}{\log n}\right)\right) \,\textrm{(Since, $