¿Cómo mostrar que estas dos líneas son perpendiculares?

Question

Deje $\triangle AEE'$ ser un triángulo isósceles con $\angle EAE'=90^\circ$ tal que $AE=AE'$ y tales que $A$, $E$ y $E'$ mienten en el círculo $c_1$. Deje $\triangle ADD'$ ser un triángulo isósceles con $\angle DAD'=90^\circ$ tal que $AD=AD'$ y tales que $A$, $D$ y $D'$ mienten en el círculo $c_2$. Deje $S$ ser la intersección de las líneas de $DE'$$DE'$.

La imagen que aparece a continuación resume la situación:

Quiero demostrar que la $D'E \perp DE'$, es decir,$\angle ESE'=90^\circ$.

Ya he demostrado que $\triangle AED'$ $\triangle AE'D$ son congruentes. ¿Cómo puedo seguir desde aquí? Tengo la esperanza de que es posible evitar el uso de un sistema de coordenadas.

Gracias de antemano!

Answer 1

Aquí hay otra forma de probar sin usar el hecho de que$S$ se encuentra en la intersección de círculos:

$$ \begin{align} &\angle ADD' = \angle AD'D = 45^{\circ} \\~\\ \end{align} $ $ $$ \begin{align}& \overline{AE} \cong \overline{AE'} \\ &\angle EAD' \cong \angle E'AD \\ &\overline{AD'} \cong \overline{AD} \\ &\implies \triangle AED' \cong \triangle AE'D ~~\text{By SAS}\\& \angle ADE' \cong \angle AD'E ~\color{gray}{\text{By CPCTC}} \\ \end {align} $$

$$ \begin{align}&\implies \angle DD'S = 45+x ~~\text{and}~~\angle D'DS = 45-x \\~\\ &\implies \angle DSD' = 90 \\&~~\color{gray}{\text{By triangle sum property in } \triangle DSD' }\end {align} $$

Answer 2

Aquí hay una prueba concisa con números complejos. Tome$A$ como origen y deje que las coordenadas de$D,E,D',E'$ sean$iz,w,z,i w$ respectivamente. Entonces seamos construcciones tenemos triángulos isósceles formados por los puntos$\{0,z,iz\}$ y$\{0,w,iw\}$. El ángulo formado por$DE'$ y$D'E$ se encuentra entonces como el argumento de$\dfrac{z-w}{i(z-w)}=-i$, y por lo tanto es$90^\circ$.

Answer 3

Si ya ha demostrado que$AED'$ y$AE'D$ son congruentes, entonces observe que puede girar el primer triángulo sobre$A$ para obtener el segundo. El ángulo de rotación es$\angle EAE'$, o$90^\circ$, porque el borde$AE$ se envía a$AE'$.

Por lo tanto, cada par de bordes correspondiente entre los dos triángulos es perpendicular, incluidos en particular$DE'$ y$D'E$.

Answer 4

Deje que$P$ sea la intersección de$DS$ y$AD'.$ Entonces$\angle PD'S = \angle AD'E= \angle ADE' = \angle ADP,$ usando el hecho de que$\triangle AD'E \cong \triangle ADE'$. También$\angle APD=\angle SPD'$ ya que son un par de ángulos verticales. Dos ángulos de$\triangle APD$ son congruentes con los ángulos correspondientes en$\triangle SPD'$, por lo que los dos triángulos son similares, por lo tanto,$\angle D'SP=\angle PAD = 90^\circ$, por lo tanto,$D'E \perp DE'.$