Suma e intersecciones de subespacios vectoriales$U_1+U_2=(U_1 \cap U_2) \oplus W$

Question

Deje $U_1,U_2$ ser subespacios vectoriales de $\in \mathbb R^5$.

$$\begin{align*}U_1 &= [(1,0,1,-2,0),(1,-2,0,0,-2),(0,2,1,2,2)]\\ U_2&=[(0,1,1,1,0),(1,2,1,2,1),(1,0,1,-1,0)] \end{align*}$$ (donde [] = [lineal span])

Calcular una base de $U_1+U_2$ y un subespacio vectorial $W \in \mathbb R^5$, de modo que $U_1+U_2=(U_1 \cap U_2) \oplus W$. ($\oplus$ es la suma directa).

Tengo el siguiente hasta el momento. He calculado una base de $U_1 \cap U_2$ en el ejercicio anterior, y obtuvo los siguientes resultados: $(1,0,1,-1,0)$. También he calculado una base de $U_1+U_2$ y consiguió que el estándar de la base de $\mathbb R^5$ es una base.

Así que supongo que ahora debo resolver el siguiente:

estándar de la base de $\mathbb R^5$ = $(1,0,1,-1,0)\oplus W$

Pensé que debía conseguir 4 vectores adicionales y ellos también deben respetar la suma directa de criterio, que su intersección $= \{0\}$, sin embargo, mis colegas tienen esto:

$W = \{(w_1,w_2,0,w_3,w_4) | w_1,w_2,w_3,w_4 \in \mathbb R\}$. ¿De dónde me salen mal?

Muchas, muchas, muchas gracias de antemano!

Answer 1

Parece que estás bien. El $W$ dado por sus colegas' tiene como base $\{e_1,e_2, e_4,e_5 \}$ donde $e_i$ es el estándar $i^{\rm th}$ vector unitario en $\Bbb R^5$. Por otra parte, su $W$ no contiene $ (1,0,1,-1,0)$ (cualquier vector en $W$ 0 en su tercera coordenada); por lo tanto, este vector junto con $e_1$, $e_2$, $e_4$, $e_5$ le dará una base para $\Bbb R^5$. Así que, a continuación,, $\mathbb R^5$ = $(1,0,1,-1,0)\oplus W$.

Su enfoque sería más o menos el mismo. Me imagino que sus colegas interpretaron la pregunta como "presentan el subespacio $W$" en lugar de "hallar una base del subespacio $W$".

Answer 2

También puede encontrar su $W$ así: todo lo que tienes que hacer es completar la matriz

$$ \begin{pmatrix} 1 & * & * & * & * \\ 0 & * & * & * & * \\ 1 & * & * & * & * \\ -1 & * & * & * & * \\ 0 & * & * & * & * \\ \end{pmatrix} $$

de tal manera que tiene rango de $5$. Usted puede hacer esto casi como se quiera, pero tal vez una sencilla estrategia es parecida a esta: efectivamente estos firs dos columnas son linealmente independientes, ¿no?

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & * & * & * \\ 0 & 0 & * & * & * \\ 1 & 0 & * & * & * \\ -1 & 0 & * & * & * \\ 0 & 0 & * & * & * \\ \end{pmatrix} $$

Es así, que seguir adelante, de la misma manera. Estas tres primeras columnas son linealmente independientes, y también:

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & * & * \\ 0 & 0 & 1 & * & * \\ 1 & 0 & 0 & * & * \\ -1 & 0 & 0 & * & * \\ 0 & 0 & 0 & * & * \\ \end{pmatrix} $$

Así, vamos a tratar de nuevo con

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & * \\ 0 & 0 & 1 & 0 & * \\ 1 & 0 & 0 & 1 & * \\ -1 & 0 & 0 & 0 & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 & * \\ \end{pmatrix} $$

Todavía cuatro columnas linealmente independientes. Ahora, el único riesgo es que con el último:

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} $$

Si sigues simplemente poniendo el siguiente vector de la norma base de la $\mathbb{R}^5$, esta matriz tiene rango de cuatro. No importa: basta con sustituir su última columna con esto:

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} $$

Esta matriz tiene rango $5$. Por lo tanto, su vector de $(1,0,1,-1,0)$ $e_1, e_2, e_3, e_5$ son vectores linealmente independientes. Por lo tanto la suma de $[(1,0,1,-1,0)] + [e_1, e_2, e_3, e_5]$ es una suma directa de y es igual a $\mathbb{R}^5$. Así, usted puede tomar $W = [e_1, e_2, e_3, e_5]$. (La solución de este problema está lejos de ser único.)