Árbol de Diamante y Suslin

Question

Estoy leyendo la prueba (suponiendo $\Diamond$ ) de la existencia de un árbol de Suslin en Forcing Mathematicians de Nik Weaver (Teorema 18.4 página 71) y me cuesta ver el uso de $\Diamond$ .

Dada una anticadena máxima $\mathcal{A} \subseteq \mathbb{T}$ se demuestra que el conjunto $C$ de niveles para los que $\mathcal{A} \cap T_{< \alpha}$ es una anticadena máxima en $T_{<\alpha}$ es el club.

Más adelante, argumentamos que la construcción de la $\alpha$ -ésimo nivel de $\mathbb{T}$ garantiza que todos los vértices del nivel $\alpha$ está por encima de algún elemento de $A \cap T_{<\alpha}$ y así $A \cap T_{<\alpha}$ no sólo debe ser anticadena máxima en $T_{<\alpha}$ debe ser una anticadena máxima en $\mathbb{T}$ .

No veo dónde $\Diamond$ ¿por qué tenemos que tomar su intersección con algún conjunto estacionario obtenido mediante diamante? La prueba parece funcionar para cualquier $\mathcal{A}\cap T_{<\alpha}$ que es una anticadena máxima de $T_{<\alpha}$ ; un tipo de objeto que $C$ está lleno de...

Debemos verificar que $\mathcal{T}$ es un árbol de Suslin normal. Todas las propiedades deseadas son inmediatas excepto la propiedad (ii), que afirma que toda anticadena es contable. Para comprobarlo $A\subset\mathcal{T}$ sea una anticadena maximal. Por el lema $18.3$ el conjunto $C$ de niveles para los que $A\cap\mathcal{T}_\alpha$ es una anticadena máxima en $\mathcal{T}_\alpha$ es un club. Además, el conjunto de $\alpha\in C$ para lo cual $\mathcal{T}_\alpha=\alpha$ (como conjuntos) es club. (El cierre es fácil. Para la ilimitación, observe que $\alpha\subseteq\mathcal{T}_\alpha$ es válido para $\alpha$ y obtenemos igualdad en el supremum de cualquier secuencia $(\alpha_n)$ con la propiedad de que $\mathcal{T}_{\alpha_n}\subseteq\alpha_{n+1}$ para todos $n$ .) Por tanto, del diamante se deduce que existe $\alpha$ tal que $A\cap\mathcal{T}_\alpha$ es una anticadena máxima en $\mathcal{T}_\alpha$ y $A_\alpha=A\cap\mathcal{T}_\alpha$ . A continuación, la construcción del $\alpha$ nivel de $\mathcal{T}$ garantiza que todos los vértices del nivel $\alpha$ está por encima de algún elemento de $A\cap\mathcal{T}_\alpha$ . Pero esto implica que todo vértice de altura superior a $\alpha$ también se encuentra por encima de algún elemento de $A\cap\mathcal{T}_\alpha$ . Así que $A\cap\mathcal{T}_\alpha$ no sólo debe ser una anticadena máxima en $\mathcal{T}_\alpha$ debe ser una anticadena máxima en $\mathcal{T}$ . Concluimos que $A=A\cap\mathcal{T}_\alpha$ y, por lo tanto $A$ es contable. Esto demuestra que toda anticadena en $\mathcal{T}$ es contable. $\square$

Answer 1

Intentaré explicarlo: Vamos a $(A_\alpha \mid \alpha < \omega_1)$ sea una secuencia de diamantes. Así, para cada $A \subseteq \omega_1$ el conjunto $$ S = \{ \alpha < \omega_1 \mid A \cap \alpha = A_\alpha \} $$ es estacionaria.

Ahora, dada una anticadena máxima $A \subseteq \mathcal T$ (tenga en cuenta que $A \subseteq \omega_1$ ) dejar $$C = \{\alpha < \omega_1 \mid A\cap \mathcal T_\alpha \text{ is a maximal antichain} \wedge \mathcal T_\alpha = \alpha \}.$$

Por el Lemma 18.3, $C$ es club en $\omega_1$ . En $S$ (definida como arriba) es estacionaria, hay alguna $\alpha \in C \cap S$ es decir $A \cap \mathcal T_\alpha \overset{\mathcal T_\alpha = \alpha}{=}A \cap \alpha \overset{\alpha \in S}{=} A_\alpha$ es una anticadena máxima en $\mathcal T_\alpha$ (porque $\alpha \in C$ ).

Durante nuestra construcción, nos aseguramos de que siempre $A_\alpha$ es una anticadena máxima en $\mathcal T_\alpha$ el $\alpha$ -Nivel de $\mathcal T$ consiste únicamente en puntos que se encuentran por encima de algún punto de $A_\alpha$ .

Ahora dado $v \in \mathcal T$ o bien $v \in \mathcal T_\alpha$ y $v$ es comparable a algún punto de $A_\alpha$ (como $A_\alpha$ es una anticadena máxima en $\mathcal T_\alpha$ ) o $v$ tiene altura $\ge \alpha$ . En este último caso hay $w \le v$ de altura $\alpha$ y por lo anterior, este $w$ se encuentra por encima de algún punto de $A_\alpha$ y por lo tanto $v$ .

Esto demuestra que cada punto de $\mathcal T$ es comparable a algún punto de $A_\alpha$ es decir $A_\alpha = A \cap \alpha$ es una anticadena máxima en $\mathcal T$ y por lo tanto debemos tener que $A = A_\alpha$ . En $A = A_\alpha$ es un subconjunto de $\alpha$ es contable. Por lo tanto, toda anticadena maximal $A \subseteq \mathcal T$ es contable.