¿Qué es un polinomio mínimo de un elemento de grupo y por qué nos importaría si fuera cuadrático?

Question

EDIT: la $p$-estable definición doy a continuación es incorrecta. He incluido la definición correcta como una respuesta a esta pregunta.

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Estoy tratando de entender la definición de un p-estable del grupo. La primera parte de la definición es

Una representación fiel de un grupo finito $G$ sobre un espacio vectorial sobre un campo de característica $p\not= 2$ se llama $p$-estable si no $p$-elemento de $G$ tiene un mínimo cuadrática polinomio.

¿Qué significa para un elemento de grupo para tener una mínima polinomio?

Además, cualquier intuición en una interpretación significativa de esta definición sería muy apreciada. Lo que es especial acerca de los elementos que han cuadrático mínimo de polinomios? ¿Por qué hemos de querer deshacerse de ellos? Lo que está mal con $p=2$?

Después de esto,

1. Si $G$ no tiene no trivial $p$-subgrupos, $G$ $p$- estable si todos los fieles característicos $p$ representación es $p$-estable.

2. Si $1<O_p(G)$ $1=O_{p'}(G)$ $G$ $p$- estable si para todo normal no trivial $p$-subgrupos $P$, para cada $p$elemento $x$ tal que $[[x,P],x]=1$, la imagen de $\overline{x}$ $G/C_G(P)$ está contenida en una normal $p$-subgrupo.

3. Si $1<O_p(G)$$1<O_{p'}(G)$, $G$ $p$- estable si $G/O_{p'}(G)$ $p$- estable.

Lo que, principalmente, es la conexión entre el $p$-representación estable definición y $\#2$? Son estos de alguna manera el mismo, pero en una luz diferente?

(Veo que $[[x,P],x]$ son los elementos de la forma $p^{-1}x^{-1}pxx^{-1}x^{-1}p^{-1}xpx=(x^{-1})^p(p^{-1})^xpx$, por lo que si es igual a$1$$px=p^xx^p$. Así que hay una especie de "doble twist" sucediendo, que debe ser importante en alguna manera; pero yo no lo veo de inmediato cualquier conexión a un mínimo de polinomios.)

Lo siento si estas son las preguntas básicas sobre los materiales avanzados. Estoy seguro de que la respuesta a esta parte es, en cierta medida, debido a que esta es una definición técnica que se realiza para probar cosas con el, pero incluso el más amplio, el de la intuición en esto ayudaría.

Answer 1

What is special about elements which have quadratic minimal polynomials?

Como la acción de una $p$elemento $x\in G$ (finito dimensionales) espacio vectorial $V$ sobre un campo de característica $p$ es nilpotent, definiendo $V_0 = V, V_{i+1} := [V_i, x]$ obtener $V_n = 0$ algunos $n\ge 0$. Como $x$ actos trivialmente si $n\le 1$, el mínimo no trivial caso es $n=2$, es decir, $x$ actos cuadráticamente.

 Why would we want to get rid of them?

Una acción de $G$ $V$ $p$- estable si para todas las $a \in G$ tiene $$[V, a, a] = 1 \implies a\mathrm{C}_G(V) \in \mathrm{O}_p(G/\mathrm{C}_G(V)).$$ The purpose of this condition is to exclude sections of $G/\mathrm{C}_G(V)$ that are isomorphic to $\mathrm{SL}_2(p)$ (and act "naturally" like $\mathrm{SL}_2(p)$, see for example the remark after Theorem 9.1.4 in [KS]). If you have a group $G$ with $\mathrm{C}_G(\mathrm{O}_p(G)) \le \mathrm{O}_p(G)$ and the action of $G$ on the chief factors of $G$ in $\mathrm{O}_p(G)$ is $p$-stable then Glauberman's ZJ-Theorem states that $Z(J(S))$ is normal $G$ for every $p$-Sylow subgroup $S$ of $G$ (see beginning of section 9.4 in [KS]).

What's wrong with p=2?

Every element of order $2$ acting non-trivially on a vector space over a field of characteristic $2$ acts quadratically (according to the remark after 9.4.5 in [KS] you can replace $p$-stability by excluding sections of $G$ isomorphic to $\mathrm{SL}_2(2) = S_3$ directly to get meaningful results for $p=2$).

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[KS] Kurzweil, Stellmacher: La Teoría de Grupos Finitos

Answer 2

Yo no estudio de estas cosas, así que no te puedo dar ninguna intuición, pero aquí está la definición de la mínima polinomio:

Dada una representación $\phi\colon G \to \mathrm{GL}_n(k)$ y un elemento $g \in G$ la matriz $A = \phi(g)$ es la plaza así que, dado que cualquier polinomio

$$f(x) = c_nx^n + c_{n-1}x^{n-1} + \cdots c_1x + c_0$$

es perfectamente bien definidos para establecer

$$f(A) = c_nA^n + c_{n-1}A^{n - 1} + \cdots + c_1A + c_0I$$

donde $I$ $n \times n$ matriz identidad. El polinomio mínimo de a $g$ con respecto al $\phi$ es, entonces, el monic polinomio $f$ de grado mínimo tal que $f(A) = 0$ ($n \times n$ matriz cuyas entradas son cero).

También: podemos definir el ideal de $\mathrm{ann}(A)$ de todos los polinomios $p$ tal que $p(A) = 0$. El polinomio mínimo $f$ es el monic polinomio que genera este ideal. Así que si $p(A) = 0$, entonces usted puede escribir $p = fh$ por algún otro polinomio $h$.

Answer 3

Que página de la Wikipedia, es un desastre.

Si no hay $p$-subgrupos de $G$, entonces no hay $p$-elementos de $G$, y por lo tanto, por la definición de $p$-estable de la representación, a todos los fieles representaciones se $p$-estable, ya que una representación de ser $p$-estable se define sólo en términos de cómo afecta a $p$-elementos, y no hay ninguno.

Hay muchos indicios de que esta página de la Wikipedia no es "maduro". Específicamente, no hay enlaces a otros artículos de la definición de los términos, y hay casos de trastoca la gramática.

Yo no confiaría en esa página. Probablemente es mejor ir a la fuente principal.

Answer 4

Como @ThomasAndrews sugerido, la definición que se da en la Wikipedia no fue la correcta. He localizado la definición en un artículo de Glauberman:

1. Deje $p$ ser impar el primer y $G$ ser un grupo finito con $O_p(G)\not= 1$. A continuación, $G$ $p$- estable si se cumple la siguiente condición: Vamos a $P$ ser arbitraria $p$-subgrupo de $G$ tal que $O_{p'}(G)P$ es un subgrupo normal de $G$. Supongamos que $x\in N_G(P)$ $\overline{x}$ es el coset de $C_G(P)$ contiene $x$. Si $[P,x,x]=1$,$\overline{x}\in O_n(N_G(P)/C_G(P))$.

2. Definir $\mathcal{M}_p(G)$ como el conjunto de todos los $p$-subgrupos de $G$ maximal con respecto a la propiedad que $O_p(M)\not= 1$.

3. Deje $G$ ser un grupo finito y $p$ un extraño prime. A continuación, $G$ se llama $p$-estable si cada elemento de a $\mathcal{M}_p(G)$ $p$- estable.

(No estoy seguro de lo poco $n$ (1). Supongo que cualquier $n\in \mathbb{N}$?)

Así que supongo que $[P,x,x]$ es un conmutador condición de que ningún crítico $p$-subgrupos se les permite tener cuando queremos $G$ $p$- solucionable. (Evidentemente, el caso de $p\not= 2$ es degenerado con respecto a la $[P,x,x]$ condición, que es la razón por la que no está incluido en esto.) Como una nota del lado, excluyendo $SL(2,p)$ a partir de un grupo implica que es $p$-estable - sospecho porque el $[P,x,x]$ relación da lugar a ese tipo de subgrupo.

Todavía no estoy seguro de qué pensar de forma intuitiva sobre lo que hace que estos grupos "estable" con respecto a $p$. Tal vez voy a encontrar y leer los documentos en la bibliografía.