Tiempo de espera esperado: propiedad sin memoria

Question

Smith está a la espera de sus dos amigos, Lee y Yang a visitar a su casa. El tiempo hasta que Lee llega es Exp($\lambda_1$) y el tiempo hasta el Yang llega es Exp($\lambda_2$). Después de la llegada, Lee permanece una cantidad de tiempo que es Exp($\mu_1$), mientras que el Yang queda una cantidad de tiempo que es Exp($\mu_2$).

Las cuatro variables aleatorias son independientes.

¿Cuál es el tiempo de espera de la salida del primer vuelo?

Sugerencia: sea X el tiempo de la primera salida, y se escribe X=F+Y, donde F es el tiempo de la primera llegada e y es la cantidad de tiempo adicional hasta que la salida del primer vuelo. Calcular E(Y) por el condicionamiento en el que llegó primero.

Intento:

Denotar S=Lee la hora de llegada; U=Lee el tiempo de la estancia; T=Yang de la hora de llegada; V=Yang del tiempo de la estancia.

$E\{first arrival\}=E[X]=E[\min(S,T)]=\frac 1{\lambda_1+\lambda_2}$

Después de eso, todo se actualiza, entonces el adicional de tiempo de espera es de nuevo:

$E[A]=E[\min(U,V)]=\frac 1{\mu_1+\mu_2}$.

Por lo tanto, el tiempo total de espera de primera salida = $\frac 1{\mu_1+\mu_2}+\frac 1{\lambda_1+\lambda_2}$.

Lo cual es incorrecto

Answer 1

Todo no se actualiza después de la primera llegada. La primera persona podría partir antes de que la otra persona llegue.

Supongamos que Lee llega primero: con esa condición: el tiempo adicional hasta la primera salida es el tiempo mínimo hasta que: la salida de Lee o la llegada y salida de Yang.

$ \begin{align}\mathsf E(X) = & ~\mathsf E[(S+U)\wedge (T+V)] \\ = & ~ \mathsf E(S\wedge T) + \mathsf P(S<T)~\mathsf E [U\wedge (T+V)]+\mathsf P(S>T)~\mathsf E[(S+U)\wedge V] \\ = & ~\mathsf E(S\wedge T) + \mathsf P(S<T)~(\mathsf E(U\wedge T)+\mathsf P(U>T)~\mathsf E(U\wedge V))+\mathsf P(S>T)~(\mathsf E(S\wedge V)+\mathsf P(S<V)~\mathsf E(U\wedge V)) \\ = & ~\frac{1}{\lambda_1+\lambda_2} + \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}~(\frac{1}{\mu_1+\lambda_2}+\frac{\lambda_2}{\mu_1+\lambda_2}~\frac{1}{\mu_1+\mu_2})+\frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2}~(\frac{1}{\lambda_1+\mu_2}+\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\mu_2}~\frac{1}{\mu_1+\mu_2}) \end {align} $

Answer 2

Tenemos $$ \ mathbb E [A] = \ frac1 {\ lambda_1 + \ lambda_2} $$ y \begin{align} \mathbb E[F] &= \mathbb E[F\mid \text{Lee arrives first }]\mathbb P(\text{Lee arrives first})\\ &+ \mathbb E[F\mid \text{Yang arrives first }]\mathbb P(\text{Yang arrives first})\\ &= \left(\frac1{\mu_1+\lambda_2} + \left(\frac{\lambda_2}{\mu_1+\lambda_2}\right)\left(\frac1{\mu_1+\mu_2} \right) \right) \left( \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\right)\\ &+\left(\frac1{\mu_2+\lambda_1} + \left(\frac{\lambda_1}{\mu_2+\lambda_1}\right)\left(\frac1{\mu_1+\mu_2} \right) \right) \left( \frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2}\right). \end {align} Se sigue que \begin{align} \mathbb E[X] &= \mathbb E[A] + \mathbb E[F]\\ &= \left(\frac1{\lambda_1+\lambda_2}\right)\left(1 + \frac{\lambda _1 \left(\lambda _2+\mu _1+\mu _2\right)}{\left(\mu _1+\mu _2\right) \left(\lambda _2+\mu _1\right)} + \frac{\lambda _2 \left(\lambda _1+\mu _1+\mu _2\right)}{\left(\mu _1+\mu _2\right) \left(\lambda _1+\mu _2\right)} \right). \end {align}