¿Es cierto que un conjunto acotado en$\mathbb R^n$,$n>1$, es convexo si todas las líneas rectas a través de un punto interior arbitrario del conjunto intersectan el límite del conjunto en exactamente dos puntos? Puedo verlo geométricamente, creo que es cierto, pero no puedo escribir una prueba formal. Por favor ayuda .
Respuestas
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John Hughes
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No. Considere en el plano un "signo más" que tiene un punto de espesor, es decir, una unión de segmentos de línea. No tiene puntos interiores, por lo que su condición se mantiene de forma vacua, pero no es convexa.
Por "un signo más", me refiero a$$([-1, 1] \times \{ 0 \} ) \cup ( \{ 0 \} \times [-1, 1]).$ $
Cfr
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2525
Algunas sugerencias.
Para simplificar el tema, usted puede suponer su convexa $C$ a ser cerrado. Por lo tanto compacto delimitada. Y con un no vacío interior con el fin de evitar su hipótesis nula.
Supongamos $C$ convexo Luego de tomar cualquier punto de $x \in int(C)$ y una línea de $L$, pasando a través de $x$. La línea es convexa y la intersección de dos subconjuntos convexos es convexa. Por lo $L \cap C$ es convexa. Por lo tanto es un segmento cuyos dos extremos están en el límite de $C$.
Por el contrario Necesidades de ser hecho correctamente!
