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factores como
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Me hubiera tomado unos minutos identificar esto. ¿Cuáles son los diversos enfoques para determinar rápidamente que es factorizable y factorizarlo?
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Travis
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En este caso, la Raíz Racional Teorema nos dice que si $r$ es una raíz racional de $x^3 + 1$, $r$ es $+1$ o $-1$. La sustitución de muestra que $-1$ es de hecho un root (y que $+1$ no lo está), por lo $(x - (-1))$ es un factor de $x^3 + 1$. La aplicación polinómica división da la deseada factorización: $$\color{#bf0000}{\boxed{x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)}}.$$
Tenga en cuenta que en el otro lado, el discriminante de la ecuación cuadrática en la r.h.s. de la ecuación es $-3 < 0$, por lo que no es un factor más ($\Bbb R$).
En general, cualquier polinomio cúbico $p(x)$ $\Bbb R$ tiene una raíz, por lo que en principio siempre podemos factor como un producto $$p(x) = (a x + b) (A x^2 + B x + C),$$ y podemos intentar resolver esta ecuación por la distribución y comparar como los coeficientes para producir una ecuación cuadrática del sistema en $a, b, A, B, C$. General de los polinomios cúbicos, sin embargo, las soluciones de este sistema son extremadamente desagradables. Esencialmente, en los casos en los que no están (al menos, cuando los coeficientes de $p$ son racionales), la anterior racional de la raíz-encontrar el método generalmente funciona.
Nota demasiado que la sustitución de $x = -y$ en la fórmula anterior y reorganizar da la similar y en ocasiones útiles fórmula $$y^3 - 1 = (y - 1) (y^2 + y +1).$$
Aquí hay un enfoque.
Tenga en cuenta que$$x^3+1=x^3+3x^2+3x+1 -3x^2-3x=(x+1)^3-3x(x+1)=(x+1)((x+1)^2-3x)=(x+1)(x^2-x+1)$ $
Otro enfoque sería notar que$x=-1$ es una solución para$x^3+1=0$. Luego, puede dividir$x^3+1$ por$x+1$ con la división polinómica larga.
El tercer enfoque sería establecer$x^3+1=(x+a)(x^2+bx+c)$ y resolver el sistema de ecuaciones.
Un cuarto enfoque sería utilizar la fórmula para series geométricas.
La suma de la serie geométrica$1$,$-x$,$x^2$ es$\frac{1-(-x)^3}{1-(-x)}=\frac{x^3+1}{x+1}$.
Multiplicando$x+1$ en cada lado nos da ese$(1-x+x^2)(1+x)=1+x^3$.
jim
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43
Si usted nota que $x=-1$ es una raíz (esto es razonablemente fácil de ver por la inspección y es algo que la mayoría de la gente estaría de buscar), entonces usted puede escribir
$x^3+1 = (x+1)(Ax^2 + Bx + C)$.
Los coeficientes $A$ $C$ se puede determinar fácilmente, ya que la única manera de obtener un $x^3$ plazo es multiplicando $Ax^2$$x$, por lo $A = 1$. De la misma manera, $C$ es fácilmente determinado, ya que el único término independiente de $x$$C$, por lo que el $C = 1$. Esto significa que usted sólo tiene que encontrar $B$.
Si se multiplica el rhs y mirar el coeficiente de $x$$B + C = 0$, de modo que $B = -C = -1$. El resultado final es
$x^3+1 = (x+1)(x^2 - x + 1)$.
Simple Art
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Como Travis ha señalado, las raíces racionales teorema es probablemente el más potente/método fácil para tratar de factorizar un polinomio de su tipo.
Usted tiene algunos polinomio:
$$ax^3+bx^2+cx+d$$
Si hay cualquier racional raíces, que será de la forma
$$x=\pm\frac{Factor(a)}{Factor(d)}$$
Por ejemplo:
$$x^3+1$$
$$x=\pm\frac{Factor(1)}{Factor(1)}=\pm\frac11=\pm1$$
Este es el único posible racional de la raíz. Usted tiene que comprobar si funciona, lamentablemente.
$$x\ne1,x=-1$$
Si tuvieras $6x^3-3x^2-x-2$, entonces:
$$x=\pm\frac{Factor(6)}{Factor(2)}=\pm\frac{1,2,3,6}{1,2}=\pm\frac{1,2,3,6}{1},\pm\frac{1,2,3,6}{2}$$
Después de intentar a ver si alguna de las soluciones que realmente funciona ser sustituirlos por $x$, se encuentra que las $x=1$ es el único que funciona.
Procede a factorizar el polinomio para encontrar la otra no racionales de las raíces.
Tomo nota de que si usted permite raíces complejas que están con muchas raíces cúbicas y otros radicales, a continuación, todos los polinomios cúbicos y cuártica polinomios son factorable.
Cuando se llega a esto, la teoría de grupos y cosas como discriments más probable es que la mejor manera de ir si usted tiene realmente difícil polinomios factorizar.
