Muestran que

Question

Deje que$H\lhd G$ y$K\lhd G$ st$H\cap K=\{1\}$. Mostrar que$$HK\cong H\times K.$ $

Intentos

Usando el segundo teorema de isomorfismo, tenemos ese$HK/K\cong H$ y$HK/H\cong K$, así que necesito demostrar que$$HK\cong HK/K\times HK/H.$ $

Para simplificar notatino deja$W=HK$. Considero que el morfismo de grupo$$W\longrightarrow W/H\times W/K$ $ definido por$$w\longmapsto (wH,wK).$ $ La inyectividad es clara, pero tengo un problema para mostrar la inyectividad. ¿Podría alguien ayudar?

Answer 1

Para y $h\in H$, $k\in K$. De hecho, $$ hkh ^ {- 1} k ^ {- 1} \ en H \ cap K $$ porque tanto$hk=kh$ como$H$ son normales, por lo que$K$ y$hkh^{-1}\in K$.

Por lo tanto,$kh^{-1}k^{-1}\in H$ definido por$H\times K\to HK$ es un homomorfismo de grupo bien definido. Es obvio que es un subjetivo. ¿Cuál es su núcleo?