Verificación integral. ¿Son las fracciones parciales la única forma?

Question

Estoy recibiendo una respuesta distinta de wolfram y no tengo idea de donde. Tengo que integrar:

$$\int_0^1 \frac{xdx}{(2x+1)^3}$$

Es parcial fracciones de la única manera?

Por lo tanto la evaluación de la fracción de primero:

$$\frac{x}{(2x+1)^3} = \frac{A}{2x+1} + \frac{B}{(2x+1)^2} + \frac{C}{(2x+1)^3}$$

$$x = A(2x+1)^2 + B(2x+1) + C$$

$$x = A(4x^2 + 4x + 1) + 2Bx + B + C$$

$$x = 4Ax^2 + 4Ax + A + 2Bx + B + C$$

$$x = x^2(4A) + x(4A+2B) + A + B + C$$

$4A = 0$ e $4A+2B = 1$ e $A + B + C = 0$ lo $A = 0$ e $B=\frac{1}{2}$ e $C = \frac{-1}{2}$

Es la fracción parcial de la parte de la derecha?

Así que luego me sale:

$$\int_0^1 \frac{xdx}{(2x+1)^3} = \int_0^1 \frac{dx}{(2(2x+1)^2)} - \int_0^1 \frac{dx}{2(2x+1)^3}$$

por tanto, el uso de $u = 2x+1$ e $\frac{du}{dx} = 2$ e $du = 2dx$ e $\frac{du}{2} = dx$, $$\frac{1}{4} \int \frac{du}{u^2} - \frac{1}{4} \int \frac{du}{u^3}$$

$$ = [\frac{1}{4} - u^{-1} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{-2} u^{-2} ]_1^3$$

Me voy a la ruta de cambiar los límites de la nueva gripe y desde $u = 2x+1$, cuando se $x = 0, u = 1$ e al $x = 1, u = 3$. Es este el camino correcto?

finalmente me sale

$$[\frac{-1}{4}u^{-1} + \frac{1}{8}u^{-2} ]_1^3$$

Puedo conectar en los números pero me da una respuesta diferente de wolfram...

Answer 1

Sugerencia: Sustituya $x=\tfrac12 u -\tfrac12$

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Addendum: Su problema original se $\int_0^1\frac{x\; dx}{(2x+1)^3}$. Para esta sustitución, calcular:

Integrando: Tenemos $x=\tfrac12 u -\tfrac12=\tfrac12(u-1)$, por lo que $$\frac{x}{(2x+1)^3}=\frac{\tfrac12(u-1)}{(2\cdot\frac12(u-1)+1)^3} =\tfrac12\frac{u-1}{u^3}=\boxed{\tfrac12\left(u^{-2}-u^{-3}\right)}$$

Diferencial: Tenemos $x=\tfrac12 u -\tfrac12$, por lo que $$dx = d\left(\tfrac12 u -\tfrac12\right)=\boxed{\tfrac12du}$$

Los límites de integración: Los límites de $x$ se $0$ e $1$, por lo que nos encontramos con los correspondientes valores de $u$: $$x=0\implies 0=\tfrac12 u -\tfrac12\implies u=\boxed{1}$$ $$x=1\implies 1 = \tfrac12 u -\tfrac12 \implies u=\boxed{3}$$ Así, sustituyendo el integrando, diferencial, y limita con la caja elementos que tenemos encima $$\int_0^1\frac{x\; dx}{(2x+1)^3} = \int_1^3\tfrac12\left(u^{-2}-u^{-3}\right) \tfrac12du$$ $$=\tfrac14\int_1^3\left(u^{-2}-u^{-3}\right) du$$ $$=\left.\frac14\left(-u^{-1}+\tfrac12u^{-2} \right)\right]_1^3$$ $$=\tfrac14[(-\tfrac13+\tfrac1{18})-(-1+\tfrac12)]$$ $$=\tfrac14[-\tfrac{5}{18}+\tfrac12]$$ $$=\tfrac14[\tfrac{4}{18}]$$ $$=\boxed{\tfrac{1}{18}}$$

Este es el preciso procedimiento que debe seguir para cualquier sustitución. No tomar atajos.

Answer 2

Se ha calculado la integral correctamente, probablemente cometió un error mientras sustituyendo en los límites de la integración. Todo lo demás hasta que punto es correcto.

Es parcial fracciones de la única manera?

No hay un único camino es el único camino, usted tiene un montón de maneras de hacer esta integral. Eche un vistazo a los siguientes planteamientos.

1. La manipulación y la U de Sustitución de

   • Hacer la sustitución $\begin{bmatrix}t \\ \mathrm dt \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2x+1 \\ 2\mathrm dx\end{bmatrix}$
   • El uso General de Energía de la Regla para las Integrales $$I=\int_{0}^{1}\dfrac{x \mathrm dx}{(2x+1)^3}\implies 2I=\int_{0}^{1}\dfrac{2x+1-1}{(2x+1)^3}\mathrm dx$$ $$2I=\int_{0}^{1}\biggl[\dfrac{1}{(2x+1)^2}-\dfrac{1}{(2x+1)^3}\biggr] \mathrm dx $$

$$\implies I=\dfrac{1}{4}\biggl[-\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{2t^2}\biggr]_{1}^{3}=\dfrac{1}{18}$$

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2. Trigonométricas Sustitución

   • Hacer la sustitución $\begin{bmatrix}x \\ \mathrm dx\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/2\cdot\tan^2 \theta\\\tan\theta\sec^2\theta\mathrm d\theta\end{bmatrix}$
   • El uso de la Identidad Pitagórica que implican la tangente y la secante funciones a saber, $\sec^2\theta=1+\tan^2\theta$ conseguir $2x+1=\sec^2\theta$.

$$I=\int_{0}^{1}\dfrac{x\mathrm dx}{(2x+1)^3}=\int_{0}^{\sqrt{2}}\dfrac{\tan^3\theta \sec^2\theta}{\sec^6\theta}\mathrm d\theta$$

Utilizando las definiciones de $\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta$ e $\sec\theta=1/\cos\theta$. La integral simplifica de la siguiente forma: $$I=\int_{0}^{\sqrt{2}}\sin^3\theta\cos\theta\mathrm d\theta=\int_{0}^{\sqrt{2}}\sin^3\theta \cdot\mathrm d(\sin\theta)$$

De nuevo el uso de la Potencia General de la Fórmula para las Integrales para obtener la siguiente expresión:

$$I=\dfrac{1}{8}\biggl[\sin^4\tan^{-1}(\sqrt{2x})\biggr]_{0}^{1}=\dfrac{1}{18}$$

Para calcular los $\sin\arctan(\sqrt{2})$, hacer uso de los siguientes fácil para probar su identidad: $$\sin\tan^{-1} x=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$$

Answer 3

Una forma mucho más fácil de resolverlo es utilizando la integración por partes.

Sugerencia: tome $u=x$ , $dv = \frac{dx}{(2x+1)^3}$ .

Answer 4

1) Observar: $$x= \frac 12 \times \left ( (2x + 1) -1\right).$ $

2) Usa esto para obtener $$\frac{x}{(2x+1)^3} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{(2x+1)^2} - \frac 12 \times \frac{1}{(2x+1)^3}.$ $

3) Integrar para obtener

PS

Answer 5

$$\int_0^1 \frac{xdx}{(2x+1)^3} = \int_0^1 \frac{dx}{2(2x+1)^2} - \int_0^1 \frac{dx}{2(2x+1)^3}$$

$\displaystyle \int \dfrac{dx}{2(2x+1)^2}:$

$\qquad u=2x+1,\ x=\dfrac{u-1}{2}, \ dx = \dfrac 12 du$

$\qquad \displaystyle \int \dfrac{dx}{2(2x+1)^2} = \int \dfrac{du}{4u^2} = -\dfrac{1}{4u}$

$\qquad x=0 \mapsto u=1, \ x=1 \mapsto u=3$

$\qquad \left[-\dfrac{1}{4u} \right]_1^3 = -\dfrac{1}{12} + \dfrac 14 = \dfrac 16$

$\displaystyle \int \dfrac{dx}{2(2x+1)^3}:$

$\qquad u=2x+1,\ x=\dfrac{u-1}{2}, \ dx = \dfrac 12 du$

$\qquad \displaystyle \int \dfrac{dx}{2(2x+1)^3} = \int \dfrac{du}{4u^3} = -\dfrac{1}{8^2}$

$\qquad x=0 \mapsto u=1, \ x=1 \mapsto u=3$

$\qquad \left[-\dfrac{1}{8u^2} \right]_1^3 = -\dfrac{1}{72} + \dfrac 18 = \dfrac 19$

$$\int_0^1 \frac{dx}{2(2x+1)^2} - \int_0^1 \frac{dx}{2(2x+1)^3} = \dfrac 16 - \dfrac 19 = \dfrac{1}{18}$$

También hay otra manera de resolver para $A, B$, e $C$.

$$\frac{A}{2x+1} + \frac{B}{(2x+1)^2} + \frac{C}{(2x+1)^3} =\frac{x}{(2x+1)^3}$$

$$A(2x+1)^2 + B(2x+1) + C = x$$

Deje $x = -\dfrac 12$ y se obtiene \begin{align} C &= -\dfrac 12 \\ A(2x+1)^2 + B(2x+1) - \dfrac 12 &= x \\ 2A(2x+1)^2 + 2B(2x+1) &= 2x+1 \\ 2A(2x+1) + 2B &= 1 \end{align}

De nuevo, deje $x = -\dfrac 12$ y se obtiene \begin{align} 2B &= 1 \\ B &= \dfrac 12 \\ 2A(2x+1) + 1 &= 1 \\ A &= 0 \end{align}