$ \langle\Delta_\partial\omega,\omega\rangle = || \partial \omega||^2 + ||\partial^*\omega||^2 $ en colector Kahler compacto

Question

¿Por qué necesitamos la compacidad para tener $ \langle\Delta_\partial\omega,\omega\rangle = || \partial \omega||^2 + ||\partial^*\omega||^2 $ ?

Creo que $ \langle\Delta_\partial\omega,\omega\rangle =<\partial\partial^*\omega,\omega>+<\partial^*\partial\omega,\omega>=<\partial^*\omega,\partial^*\omega>+<\partial\omega,\partial\omega>= || \partial \omega||^2 + ||\partial^*\omega||^2 $ . ¿Por qué entonces necesitamos compacidad?

Answer 1

El problema es que el adjunto del operador $\partial^*$ , en general, sólo existe en compacto de los colectores.

Queremos un operador $\partial^*$, de tal manera que $\left< \partial \alpha,\beta\right>=\left< \alpha, \partial^*\beta\right>$ para todos los $\alpha, \beta$.

Deje $\alpha$ una $(p-1,q)$y $\beta$ una $(p,q)$-forma en $M$. Calculamos: (ver Huybrechts p.125) $$\left<\partial \alpha, \beta\right>= \int_M \partial \alpha\wedge *\overline {\beta} \stackrel{Leibniz~Rule}= \int_M \partial(\alpha \wedge * \overline \beta)-(-1)^{p+q-1}\int_X\alpha\wedge \partial(*\overline \beta)$$ El primer sumando se desvanece si $M$ es compacto debido a Stokes teorema como $\alpha \wedge *\overline \beta$ es de tipo $(n-1,n)$ y, por tanto, $\partial(\alpha \wedge *\overline \beta)=d(\alpha \wedge *\overline \beta)$.

Para el segundo sumando, tenga en cuenta que $\partial(*\overline \beta)$ es de tipo $(n-p+1,n-q)$. Por lo tanto $$\partial(*\overline \beta)= (-1)^{(2n-p-q+1)(p+q-1)}**\partial(*\overline \beta)= (-1)^{-(p+q-1)^2}**\partial(*\overline \beta)=(-1)^{-(p+q-1)}**\partial(*\overline \beta).$$ La inserción de esta en el segundo sumando se obtiene: $$-(-1)^{p+q-1}\int_X\alpha\wedge \partial(*\overline \beta)= -(-1)^{p+q-1}\int_X\alpha\wedge (-1)^{-(p+q-1)}**\partial(*\overline \beta)\\= -(-1)^{p+q-1-(p+q-1)} \left< \alpha, \overline{*\partial*\overline\beta}\right>=\left< \alpha,- *\overline \partial*\beta\right> $$

Llegamos a la conclusión de $$\left< \partial \alpha, \beta\right>= \left< \alpha,- *\overline \partial*\beta\right> + \int_M \partial(\alpha \wedge * \overline \beta).$$ Si $M$ es compacto, entonces el segundo sumando se desvanece y $\partial^*=-*\overline\partial *$.
Si $M$ no es compacto, entonces el segundo sumando en general no desaparecen y pueden tomar cualquier valor, por lo que no hay medico adjunto del operador en este caso.