¿Por qué necesitamos la compacidad para tener ⟨Δ∂ω,ω⟩=||∂ω||2+||∂∗ω||2⟨Δ∂ω,ω⟩=||∂ω||2+||∂∗ω||2 ?
Creo que ⟨Δ∂ω,ω⟩=<∂∂∗ω,ω>+<∂∗∂ω,ω>=<∂∗ω,∂∗ω>+<∂ω,∂ω>=||∂ω||2+||∂∗ω||2⟨Δ∂ω,ω⟩=<∂∂∗ω,ω>+<∂∗∂ω,ω>=<∂∗ω,∂∗ω>+<∂ω,∂ω>=||∂ω||2+||∂∗ω||2 . ¿Por qué entonces necesitamos compacidad?
El problema es que el adjunto del operador ∂∗∂∗ , en general, sólo existe en compacto de los colectores.
Queremos un operador ∂∗∂∗, de tal manera que ⟨∂α,β⟩=⟨α,∂∗β⟩⟨∂α,β⟩=⟨α,∂∗β⟩ para todos los α,βα,β.
Deje αα una (p−1,q)(p−1,q)y ββ una (p,q)(p,q)-forma en MM. Calculamos: (ver Huybrechts p.125) ⟨∂α,β⟩=∫M∂α∧∗¯βLeibniz Rule=∫M∂(α∧∗¯β)−(−1)p+q−1∫Xα∧∂(∗¯β)⟨∂α,β⟩=∫M∂α∧∗¯¯¯βLeibniz Rule=∫M∂(α∧∗¯¯¯β)−(−1)p+q−1∫Xα∧∂(∗¯¯¯β) El primer sumando se desvanece si MM es compacto debido a Stokes teorema como α∧∗¯βα∧∗¯¯¯β es de tipo (n−1,n)(n−1,n) y, por tanto, ∂(α∧∗¯β)=d(α∧∗¯β)∂(α∧∗¯¯¯β)=d(α∧∗¯¯¯β).
Para el segundo sumando, tenga en cuenta que ∂(∗¯β)∂(∗¯¯¯β) es de tipo (n−p+1,n−q)(n−p+1,n−q). Por lo tanto ∂(∗¯β)=(−1)(2n−p−q+1)(p+q−1)∗∗∂(∗¯β)=(−1)−(p+q−1)2∗∗∂(∗¯β)=(−1)−(p+q−1)∗∗∂(∗¯β).∂(∗¯¯¯β)=(−1)(2n−p−q+1)(p+q−1)∗∗∂(∗¯¯¯β)=(−1)−(p+q−1)2∗∗∂(∗¯¯¯β)=(−1)−(p+q−1)∗∗∂(∗¯¯¯β). La inserción de esta en el segundo sumando se obtiene: −(−1)p+q−1∫Xα∧∂(∗¯β)=−(−1)p+q−1∫Xα∧(−1)−(p+q−1)∗∗∂(∗¯β)=−(−1)p+q−1−(p+q−1)⟨α,¯∗∂∗¯β⟩=⟨α,−∗¯∂∗β⟩
Llegamos a la conclusión de
⟨∂α,β⟩=⟨α,−∗¯∂∗β⟩+∫M∂(α∧∗¯β).
Si M es compacto, entonces el segundo sumando se desvanece y ∂∗=−∗¯∂∗.
Si M no es compacto, entonces el segundo sumando en general no desaparecen y pueden tomar cualquier valor, por lo que no hay medico adjunto del operador en este caso.
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