Generalización de $\frac{x^n - y^n}{x - y} = x^{n - 1} + yx^{n - 2} + \ldots + y^{n - 1}$

Question

Pensé en una generalización de la fórmula de $$\frac{x^n - y^n}{x - y} = x^{n - 1} + yx^{n - 2} + \ldots + y^{n - 1}$$ Puede ser escrita como $$\frac{x^n - y^n}{x - y} = x^{n - 1} + yx^{n - 2} + \ldots + y^{n - 1} = \sum_{i + j = n - 1}x^iy^j$$

Así que nos gustaría generalizar: $$\sum_{i_1 + i_2 + i_3 + ... +i_k = n - 1}{x_1}^{i_1}{x_2}^{i_2}{x_3}^{i_3} \cdots {x_k}^{i_k}$$ Por ejemplo," $$\sum_{i + j + k = n - 1}{x}^{i} de{y}^{j}{z}^{k} = \sum_{k=0}^{n - 1}{z}^{k} \sum_{i + j = n - k - 1}{x}^{i} de{y}^{j} = \sum_{k=0}^{n - 1}{z}^{k} \frac{x^{n - k} y^{n - k}}{x -y} = \frac{1}{x-y} \left(\frac{x^{n + 1} - z^{n + 1}}{x - z} - \frac{y^{n + 1} - z^{n + 1}}{y - z}\right)$$

Parece que la forma generalizada es la división de la diferencia de $x^{n + k - 2}$ en los puntos de $x_1, x_2, \ldots, x_k$.

¿Alguien tiene una idea de cómo demostrarlo?

Answer 1

Creo que esta fórmula es lo que buscas. Si $\mathbf x = (x_1,\dotsc,x_r)$, entonces

$$ \sum_{|I|=n} \mathbf{x}^I = \sum_i\frac{x_i^{n}}{\prod_{j\neq i}(1-\frac{x_j}{x_i})}. $$

Con 1 variable, da %#% $ #% $ de $$ x^n = x^n, $ dos y tres, si da $$ \sum_{i+j = n} x^i y^j = \frac{x^{n+1}}{x-y} + \frac{y^{n+1}}{y-x}, $ $

Answer 2

Encontró una prueba simple: en la inducción:

Asumir

$$\sum_{i_1 + i_2 + i_3 + ... +i_k = n}{x_1}^{i_1}{x_2}^{i_2}{x_3}^{i_3} \cdots {x_k}^{i_k} = f[x_1,x_2,..,x_k]$$

Para $$f(x) = x^{n + k - 1}$$

Para cada n.

Vamos a mostrar $$\sum_{i_1 + i_2 + i_3 + ... +i_k + i_{k + 1} = n}{x_1}^{i_1}{x_2}^{i_2}{x_3}^{i_3} \cdots {x_k}^{i_k}{x_{k+1}}^{i_{k+1}} = g[x_1,x_2,..,x_k,x_{k+1}]$$

donde $$g(x) = x^{n + k}$$

Prueba: por inducción sobre k: $$\sum_{i_1 + i_2 + i_3 + ... +i_k = n + 1}{x_1}^{i_1}{x_2}^{i_2}{x_3}^{i_3} \cdots {x_k}^{i_k} = g[x_1,x_2,..,x_k]$$ $$\sum_{i_1 + i_2 + i_3 + ... +i_k = n + 1}{x_{k+1}}^{i_1}{x_2}^{i_2}{x_3}^{i_3} \cdots {x_k}^{i_k} = g[x_{k+1},x_2,..,x_k] = g[x_2,..,x_k,x_{k+1}]$$

Entonces, por la definición de la división de la diferencia: $$ g[x_1,..,x_k,x_{k+1}] = \frac{g[x_1,..,x_k] - g[x_2,..,x_k,x_{k+1}]}{x_1 - x_{k+1}}$$

Pero, a continuación,

$$g[x_1,..,x_k,x_{k+1}] =$$ $$ \frac{1}{x_1 - x_{k + 1}}\cdot\sum_{i_1 + i_2 + i_3 + ... +i_k = n + 1}\left({x_1}^{i_1}{x_2}^{i_2}{x_3}^{i_3} \cdots {x_k}^{i_k} - {x_{k+1}}^{i_1}{x_2}^{i_2}{x_3}^{i_3} \cdots {x_k}^{i_k}\right) = \sum_{i_1 + i_2 + i_3 + ... +i_k = n + 1}\frac{{x_1}^{i_1} - {x_{k + 1}}^{i_1}}{x_1 - x_{k + 1}} \left({x_2}^{i_2}{x_3}^{i_3} \cdots {x_k}^{i_k} \right)$$ $$ = \sum_{i_1 + i_2 + i_3 + ... +i_k = n + 1}\sum_{j_1 + j_2 = i_1 - 1} {x_1}^{j_1}{x_2}^{i_2}{x_3}^{i_3} \cdots {x_k}^{i_k}{x_{k+1}}^{j_2} $$

$$= \sum_{i_1 + i_2 + i_3 + ... +i_k + i_{k + 1} = n}{x_1}^{i_1}{x_2}^{i_2}{x_3}^{i_3} \cdots {x_k}^{i_k}{x_{k+1}}^{i_{k+1}}$$

Que agradable (y directamente a partir de la definición), pero si alguien tiene un carácter más geométrico explicación para esto voy a estar contento.