¿Cómo puedo abordar esta pregunta de otra manera sin probar que$p(x)=x$ es una solución única? $p(x^2+1)=(p(x))^2 +1$

Question

Si $p(x)$ es el polinomio tal que $$p(x^2+1)=(p(x))^2 +1$$ and $p(0)=0$ then $p'(0)$ es igual a _____.

Intento

Mientras se mira en él y poner $x=0$ I got $p(1)=1$ y también la ecuación dada también tenía la forma similar (en comparación) de $$y^2+1=(y^2)+1$$. Así que, pongo este polinomio en la prueba y se encontró que cumple con este como $p(x^2+1)=x^2+1$ e e $p(x)=x$ y, por tanto, está satisfecho para cada real x y por lo $p'(0)=1$. Pero yo no era capaz de progresar en la dirección de corregir los problemas.

También, las relacionadas con el problema es que no hay en este sitio, pero, yo no he sido enseñado el coeficiente de determinación y, por tanto, que la respuesta no está fuera de mi alcance por ahora. Pero,creo que hay esta derivados método que actualmente estoy aprendiendo y puede entender acerca de él.Así que, me gustaría saber cómo acercarse a esta derivados método y también si hay alguna otra manera más fácil sin demostrando $p(x)$ a de ser la única solución.

También, puede suceder que si cualquier otro existe,entonces muchas personas se llega a saber sobre el nuevo método. Será más útil para ellos y yo incluidos.

Así, hay consejos o sugerencias sobre este problema?

Gracias por la ayuda!

Answer 1

El valor de $p'(0)$ no determinado de manera única, a menos que utilizamos la información que $p$ es el polinomio críticamente en algún momento. De hecho,

La reclamación. Para cualquier $c \in [0, \infty)$, existe una función suave $p : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que

$$p(x^2 + 1) = p(x)^2 + 1, \qquad p(0) = 0, \qquad p'(0) = c. $$

Debido a que la prueba es más bien técnico y no quiero salirme del tema, deje que me salte la prueba plena. Pero la idea es que, a partir de cualquier función de $p_0 : [0, 1) \to [0, 1)$ con $p_0(0) = 0$, podemos definir a la $p$ a $[0, \infty)$ por

$$ p(x) = \big(f^{\circ n} \circ p_0 \circ f^{\circ(-n)} \big)(x), \qquad \text{if} \quad x \in \big[ f^{\circ n}(0), f^{\circ(n+1)}(0) \big)$$

y luego se extenderá a todos los de $\mathbb{R}$ por la relación $p(-x) = -p(x)$.

Dicho esto, uno debe aprovechar el hecho de que $p$ es polinomial. Pero dado que la derivada método no distingue polinomios de otros liso funciones, veo que no hay manera fácil de utilizar este método para resolver OP problema aparte de mostrar $p(x) = x$ primera.

En este sentido, permítanme presentarles a una solución que se basa en el siguiente hecho:

Lema. Si $q$ es un polinomio que tiene una infinidad de ceros, entonces $q(x) = 0$ para todos los $x$.

Ahora defina $x_0 = 0$ e $x_{n+1} = x_n^2 + 1$. Entonces podemos inductivamente demostrar que $p(x_n) = x_n$. De hecho, esto es cierto para $n = 0$ por la asunción. Por otra parte, si $p(x_n) = x_n$ es cierto para $n$, luego

$$ p(x_{n+1}) = p(x_n^2 + 1) = p(x_n)^2 + 1 = x_n^2 + 1 = x_{n+1}. $$

Luego de aplicar el Lema para el polinomio $p(x) - x$, que tiene una infinidad de ceros $x_0, x_1, \cdots$, llegamos a la conclusión de que $p(x) = x$ y, por tanto, $p'(0) = 1$. $\square$.

Answer 2

Por supuesto, la relación que se propone como un duplicado resuelve esto.

más avanzada la perspectiva de la
Hay muy limitado de posibilidades, en las que dos polinomios conmutar bajo la sección de composición (en característica cero).

Tenga en cuenta que $S(x):=x^2+1$ no está conjugado con el grado $2$ polinomio de Chebyshev. Por lo tanto, la única polinomios que se desplazan con $S$ bajo son la composición de la composición potencias $S^{[n]}$, $n=0,1,2,\cdots$. La única composición de potencia $p$ con $S^{[n]}(0)=0$ es $S^{[0]}$ (el constante incremento con $n$). Por lo $p(x) = x$.

Answer 3

La derivada de $p$ satisface la ecuación $$ p'(x^2+1)\cdot 2x = 2p(x)p'(x). $$ Dividiendo por $2x$, y pasando al límite de $x\to 0$ tenemos $$ p'(1) = p'(0)^2, $$ debido a $p(x)/x \to p'(0)$ para $x\to0$.

No veo cómo obtener $p'(0)$ sin demostrando $p(x)=x$. La relación $p'(1) = p'(0)^2$ también se puede obtener mediante la comparación de los coeficientes polinomiales en el original de la ecuación de la función.