Deje $(M,d)$ ser una métrica topológica colector (sin límite). Sabemos que para cualquier $m\in M$ hay una vecindad $U\subseteq M$ de $m$ tal que $U$ es homeomórficos a $\mathbb{R}^n$. Podemos elegir siempre $U$ a ser un open de bola en $M$ con respecto a la métrica de $d$ todo $m$?
Respuesta
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Ok, esto es no siempre es posible. No se metan con la topología, se hace un lío con usted!
Wolframalpha parcelas de la siguiente imagen con la función de $f\colon [0,\infty)\to \mathbb R, x\mapsto5x \sin(10 \log(x))$:
Ahora podemos tomar el gráfico de $X$ de esta función, que es homeomórficos a $[0,\infty)$. La métrica de $\mathbb R^2$ rendimientos restringido métrica en $X$ lo que induce a la misma topología. Pero si nos fijamos en una bola de $B$ todo $(0,0)$, probablemente es un punto de $p$ sobre el $x$-eje con $p\in B$, pero los dos "picos" junto a $p$ no se encuentran en $B$.
Si ahora añadimos la línea de $\{(-t,0) \mid t \leq 0\}\subset \mathbb R^2$, obtenemos un colector sin límite.
$M$$\mathbb R^n$#
Si asumimos que la métrica bolas del colector $m\in M$ están conectados, entonces somos capaces de generar una cobertura de métrica de bolas, que son homeomórficos a conectado subconjuntos de a$U_m\subseteq M$. Esta es una variante de la definición de un atlas.
Para cada $m$, hay una vecindad $U_m$ de $\mathbb R^n$, de tal manera que $B(x,r)=\{y\in M \mid d(x,y)<r\}$ es homeomórficos a un subconjunto abierto de $U_m$. El abierto de bolas $B_i$ formulario de una base de la topología. Por lo tanto, para cada una de las $\bigcup_{i\in I_m} B_i = U$, tenemos un conjunto de bolas $m\in U$ tal que $j_m\in I_m$. Desde $x\in B_{j_m}$, no es $U_m \to U\subset \mathbb R^n$ tal que $B_{j_m}$. La restricción de la homeomorphism $\mathcal A = \{(U_m ,\text{restriction})\mid m\in M\}$ a la bola de $M$ es todavía un homeomorphism en su imagen, por lo tanto, tenemos un atlas $\mathbb R^n$ de $\mathbb R^n$, que consta de métrica de bolas, que están conectados por supuesto, por lo que la imagen está conectado a un subconjunto abierto de $\mathbb R^n$.
Si desea que las cartas sean homeomórficos a $\mathbb R^n$, se encuentran en mal estado. Normalmente, esto es un equivalente a la definición de los colectores. Si usted tiene los gráficos que son homeomórficos conectado a abrir los subconjuntos de a$\mathbb R^n$, usted puede construir los gráficos que son homeomórficos a %#%#% por sólo refinación de los gráficos. Usted descomponer el gráfico de tal manera, que se obtiene simplemente conectado a abrir las regiones. Entonces esos son homeomórficos a %#%#%. En nuestro caso, esto no es posible en general, ya que suelen perder la propiedad de los gráficos están métrica de bolas, si vamos mejorando los gráficos.
