Álgebra lineal: propiedad del producto cruzado.

Question

Probablemente soy un poco perdido pero me he encontrado con el siguiente 'producto' de la propiedad en un papel :

$(Ma) \times (Mb) = \frac{1}{det([a,b]^{-1})} ( M_1 \times M_2 ) $

Con $M$ una $3\times2$ Matriz, $a$ e $b$ dos $2\times1$ vector. $[a,b]$ es $2\times2$ de la matriz obtenida mediante la concatenación (horizontal)los dos vectores a y b y $M_1$, $M_2$ corresponden a la 1ª y la 2ª columna de $M$.

Actualmente estoy luchando mucho para demostrar esta fórmula y quisiera saber si alguien me puede ayudar. Yo m lo siento por esta cuestión, que es, probablemente, bastante trivial, pero realmente no t veo por dónde empezar.

Muchas gracias por su ayuda. F

Answer 1

Deje que las entradas de $a$ ser $a_1$ e $a_2$ y los de $b$ ser $b_1$ e $b_2$. A continuación, el lado izquierdo se lee

$$(a_1M_1 + a_2M_2) \times (b_1M_1 + b_2M_2).$$

Usando la propiedad distributiva sabemos de la multiplicación ordinaria, este se expande a

$$a_1b_1 (M_1 \times M_1) + a_1b_2 (M_1 \times M_2) + a_2b_2 (M_2 \times M_2) + a_2b_1 (M_2 \times M_1)$$

Ignorando los términos de la forma $X \times X$ (debido a que son cero) y con el hecho de que $M_2 \times M_1 = - M_1 \times M_2$ nos encontramos con:

$$(a_1b_2 - a_2b_1)(M_1 \times M_2)$$

Esto ya es casi lo que quería: obviamente, el escalares $(a_1b_2 - a_2b_1)$ que aparece aquí es igual a $\det[a, b]$ todo lo que necesitamos es el hecho general de que el $\det A = \frac{1}{\det A^{-1}}$ que tiene para todos los invertible matrices $A$.

Esto responde a la pregunta.

Aviso que he tratado de evitar la realidad de computación en cualquier cruce de productos y trabajó con sus propiedades (bilinearity, anti-simetría) en su lugar. Esto es a menudo una buena idea cuando la cruz de los productos involucrados.

Answer 2

Hay una simplificación obvia en su fórmula: $$\frac1{\det\bigl([a,b]^{-1}\bigr)}=\det\bigl([a,b]\bigr).$$After this, write $ M$ as$$\begin{bmatrix}m_{11}&m_{12}\\m_{21}&m_{22}\\m_{31}&m_{32}\end{bmatrix},$$write $ a$ as $ (a_1, a_2)$, write $ b$ as $ (b_1, b_2)$ and compute both$$(Ma)\times(Mb)\text{ and }\det\bigl([a,b]\bigr)\bigl((m_{11},m_{21},m_{31})\times(m_{12},m_{22},m_{32})\bigr).$ $ Verás que son iguales.