Encuentra el sobre de$x \sin \theta - y \cos \theta + z = a \theta$, donde$\theta$ es un parámetro.

Question

He tratado de encontrar sobres para $$x \sin \theta - y \cos \theta + z = a \theta$$ Primero hay que encontrar derivado w.r.t. $\theta$ $$F(\theta)=x \sin \theta - y \cos \theta + z - a \theta = 0$$ $$\frac{\partial F(\theta)}{\partial \theta}=y \sin \theta + x \cos \theta - a = 0$$ A continuación, mediante la resolución de estos dos ecuación anterior con el fin de eliminar el parámetro de $\theta$, me parece valores de $\sin \theta$ e $\cos \theta$ $$\sin \theta = \frac{ax\theta + ay - xz}{x^2 + y^2}$$ y $$\cos \theta = \frac{ax - ay\theta + yz}{x^2 + y^2}$$ Finalmente, para encontrar un valor de $\theta$ I plazas y agregar dos ecuaciones de arriba, a continuación, puedo obtener una ecuación de segundo grado en $\theta$como $$a^2\theta^2 - 2az\theta + a^2 + z^2 - x^2 - y^2=0$$ A continuación, la solución de este para $\theta$ aplicando la fórmula cuadrática, puedo obtener la condición real de los valores de $\theta$ es decir

$\theta$ es real sólo si $$x^2+y^2 \ge a^2$$

Ahora, aquí está mi pregunta. Cualquiera de las $x^2+y^2 \ge a^2$ se requiere de la envolvente o algo más que hacer? Debido a $x^2+y^2 \ge a^2$ es una igualdad en la que hemos eliminado el parámetro de $\theta$.

Answer 1

Sugerencia:

Usted deshacerse de los molestos funciones trigonométricas por

$$(z-a\theta)^2+a^2=x^2+y^2.$$

A partir de este se dibuja $\theta$, la que se conecta en una de las primeras ecuaciones. No es realmente una buena expresión.

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Alternativamente, en coordenadas cilíndricas $(\phi,\rho)$ nos re-escribir

$$\begin{cases}\rho\sin(\phi-\theta)=z-a\theta,\\\rho\cos(\phi-\theta)=a.\end{cases}$$

Entonces

$$\phi=\theta+\arccos\frac a\rho=\frac{z\pm\sqrt{\rho^2-a^2}}a+\arccos\frac a\rho.$$