Derivada general del operador exponencial con respecto a un parámetro

Question

Estoy interesado en el cálculo de la $N$-ésima derivada general con respecto a un parámetro $\lambda$ de un operador exponencial mecánico cuántico con la siguiente estructura: \begin{equation*} \frac{\mathrm d^N}{\mathrm d \lambda^N} e^{-\beta \hat H(\lambda)} \end{equation*} En el caso $n=1$ esto se lee como \begin{equation*} \sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{m=0}^{n-1}\frac{1}{n!}[\hat H(\lambda)]^{m}\frac{\mathrm d\hat H(\lambda)}{\mathrm d \lambda}[\hat H(\lambda)]^{n-m-1} \end{equation*} ¿Existe una manera compacta de reorganizar la expresión anterior para la $N$-ésima derivada general?

Answer 1

Pista: Usa repetidamente la identidad para la 1ª derivada $$ \frac{d}{d\lambda}e^{t\hat{A}} ~=~ \int_0^t\!dt_1~ e^{(t-t_1)\hat{A}}\frac{d\hat{A}}{d\lambda}e^{t_1\hat{A}}~=~ \iint_{\mathbb{R}^2_+}\!dt_1~dt_2~\delta(t\!-\!t_1\!-\!t_2)~ e^{t_2\hat{A}}\frac{d\hat{A}}{d\lambda}e^{t_1\hat{A}} , \qquad t~\in~\mathbb{R}_+ .\tag{1} $$ Para una demostración de la ec. (1) ver por ejemplo mi respuesta de Phys.SE aquí. Luego la 2ª derivada se convierte en $$\begin{align} \frac{1}{2!}\frac{d^2}{d\lambda^2}e^{t\hat{A}} &~=~\iiint_{\mathbb{R}^3_+}\!dt_1~dt_2~dt_3~\delta(t\!-\!t_1\!-\!t_2\!-\!t_3)~ e^{t_3\hat{A}}\frac{d\hat{A}}{d\lambda}e^{t_2\hat{A}}\frac{d\hat{A}}{d\lambda}e^{t_1\hat{A}} \cr &~+~ \iint_{\mathbb{R}^2_+}\!dt_1~dt_2~\delta(t\!-\!t_1\!-\!t_2)~ e^{t_2\hat{A}}\frac{1}{2!}\frac{d^2\hat{A}}{d\lambda^2}e^{t_1\hat{A}} , \qquad t~\in~\mathbb{R}_+ ,\end{align}\tag{2} $$ la 3ª derivada se convierte en $$\begin{align} \frac{1}{3!}\frac{d^3}{d\lambda^3}e^{t\hat{A}} &~=~\iiiint_{\mathbb{R}^4_+}\!dt_1~dt_2~dt_3~dt_4~\delta(t\!-\!t_1\!-\!t_2\!-\!t_3\!-\!t_4)~ e^{t_4\hat{A}}\frac{d\hat{A}}{d\lambda}e^{t_3\hat{A}}\frac{d\hat{A}}{d\lambda}e^{t_2\hat{A}}\frac{d\hat{A}}{d\lambda}e^{t_1\hat{A}} \cr &~+~\iiint_{\mathbb{R}^3_+}\!dt_1~dt_2~dt_3~\delta(t\!-\!t_1\!-\!t_2\!-\!t_3)~ e^{t_3\hat{A}}\frac{d\hat{A}}{d\lambda}e^{t_2\hat{A}}\frac{1}{2!}\frac{d^2\hat{A}}{d\lambda^2}e^{t_1\hat{A}} \cr &~+~\iiint_{\mathbb{R}^3_+}\!dt_1~dt_2~dt_3~\delta(t\!-\!t_1\!-\!t_2\!-\!t_3)~ e^{t_3\hat{A}}\frac{1}{2!}\frac{d^2\hat{A}}{d\lambda^2}e^{t_2\hat{A}}\frac{d\hat{A}}{d\lambda}e^{t_1\hat{A}} \cr &~+~ \iint_{\mathbb{R}^2_+}\!dt_1~dt_2~\delta(t\!-\!t_1\!-\!t_2)~ e^{t_2\hat{A}}\frac{1}{3!}\frac{d^3\hat{A}}{d\lambda^3}e^{t_1\hat{A}} , \qquad t~\in~\mathbb{R}_+ ,\end{align}\tag{3} $$ y así sucesivamente. La $N$-ésima derivada $$\frac{1}{N!}\frac{d^N}{d\lambda^N}e^{t\hat{A}}~=~\sum\stackrel{t_{n+1}}{\rule{1cm}{.5mm}}\fbox{$k_n$}\stackrel{t_n}{\rule{1cm}{.5mm}}\cdots \stackrel{t_3}{\rule{1cm}{.5mm}}\fbox{$k_2$}\stackrel{t_2}{\rule{1cm}{.5mm}}\fbox{$k_1$}\stackrel{t_1}{\rule{1cm}{.5mm}}\tag{N}$$ es una suma de posibles diagramas de Feynman con propagadores de Schwinger $$\stackrel{t_i}{\rule{1cm}{.5mm}}~=~e^{t_i\hat{A}}, \qquad t_i~\in~\mathbb{R}_+,\tag{P}$$ y vértices de 2 $$\fbox{$k_i$}~=~\frac{1}{k_i!}\frac{d^{k_i}\hat{A}}{d\lambda^{k_i}}, \qquad k_i~\in~\mathbb{N}.\tag{V}$$ Cada diagrama en la suma tiene un peso de 1.