Demostrar que no existe ningún homomorfismo $f:\mathbb { Z } / n \mathbb { Z }\rightarrow \mathbb { Z }$

Question

Problema Demostrar que no existe ningún homomorfismo $f:\mathbb { Z } / n \mathbb { Z } \rightarrow \mathbb { Z }$

Mi intento: Por contradicción, supongamos que existe como tal. Entonces tenemos $0 = f(0) = f(n \cdot \overline { 1 })=n\cdot f(\overline { 1 })= n$ . Absurdo.

¿Qué te parece mi solución?

Answer 1

Un homomorfismo de anillo $f:\mathbb { Z } / n \mathbb { Z }\rightarrow \mathbb { Z }$ induce un homomorfismo de grupos aditivos $\mathbb { Z } / n \mathbb { Z }\rightarrow \mathbb { Z }$ . Una ligera generalización de su argumento demuestra que este homomorfismo de grupo es el homomorfismo cero y por tanto $f$ es el mapa cero. Que el mapa cero sea un homomorfismo de anillo depende de tus definiciones.