Pregunta relacionada con los triángulos de Pascal y los patrones de conteo.

Question

Yo estaba trabajando en dos problemas distintos y llegó a través de un potencial que implican el patrón de triángulo de Pascal. Me gustaría saber si el triángulo de Pascal se aplica a cualquiera de estos problemas, y si es así, ¿hay una fórmula que puede utilizar para llegar a estos patrones de forma explícita?

Potencial De Patrón 1:

Cuando yo era contar el número de funciones posibles entre set $A$ y establezca $B$, donde $A=\{a,b,c\}$ e $B=\{0,1\}$

Me di cuenta de lo siguiente:

Hay una función de $A$ a $B$ que envía cero elementos elemento $1$ en $B$. Tres funciones de $A$ a $B$ que enviar sólo un elemento en $A$ elemento $1$ en $B$. Tres funciones de $A$ a $B$ que enviar dos elementos en $A$ elemento $1$ en $B$. Una función de $A$ a $B$ que envía tres elementos en $A$ elemento $1$ en B.

Así tenemos a $1+3+3+1$ funciones posibles.

Potencial De Patrón 2:

Yo estaba buscando en un conjunto de $4$-elementos y comenzó a generar los elementos de su powerset y notó ha $1$ cero element set, $4$ uno de los elementos de los conjuntos, $6$ dos elementos y conjuntos, $4$ tres elementos y conjuntos de $1$ cuatro elemento del conjunto.

Esta sigue el patrón de $1,4,6,4,1.$

Por ejemplo, ¿cómo puedo usar una fórmula para calcular el siguiente: dado el poder de un 4-element set, cuántos tres elementos de los conjuntos tiene? Podría ver un ejemplo de cómo calcular esto con una fórmula? La respuesta es de 4, pero yo lo sé porque escribí todos los subconjuntos de abajo y contó con la mano.

Answer 1

Para el problema de la nr1:

Una función se puede considerar como un subconjunto de lo que se denomina producto Cartesiano entre dos conjuntos. Que es $$ f: A\B, \ f(a)=b $$ puede ser considerado como un subconjunto de a$\{(a,b)\mid a\in A, b\in B\}$ así que lo que en realidad está contando aquí es el número de maneras que usted puede crear estos pares con algunas restricciones particulares decir que te gustaría que todo asignarse únicamente a un miembro específico del dominio de destino, que es $B$.

Para el problema de la nr2:

Usted está contando "¿de cuantas formas puedo recoger $0$ elementos de un conjunto habiendo $n$ elementos" esto se expresa generalmente como un llamado coeficiente binomial $$ \binom{n}{0}=\frac{n!}{0!(n-0)!}=1 $$ para exaample.

Cómo esta está ligada a la del triángulo de pascal es la siguiente:

Si el número de filas del triángulo a partir de $0$ entonces el $k$th elemento en $n$th fila $$ \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}. $$

El nombre de coeficiente binomial viene del hecho de que estos números representan los coeficientes en $$ (a+b)^n. $$ Veamos un ejemplo:

$$ (a+b)^3=1\cdot a^3+3\cdot a^2b+3\cdot ab^2+1\cdot b^3 $$

¿Cómo ven? Bueno, en realidad estamos contando el número de formas en que podemos obtener los factores de las sumas:

$$ (a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b) $$

por lo $a^3$ ha coefficeint $1$ ya que sólo hay una manera de elegir el $3$ "a". $a^2b$ tiene coeficiente de $3$ ya que podemos recoger $2$ "a"s y $1$ "b" de tres maneras diferentes $$ (\underline{a}+b)(\underline{a}+b)(a+\underline{b}) $$ $$ (\underline{a}+b)(a+\underline{b})(\underline{a}+b) $$ y $$ (a+\underline{b})(\underline{a}+b)(\underline{a}+b). $$

Espero que esta aclarado un poco :)

Answer 2

Sí. Ambos siguen el teorema del binomio:

PS

Como las filas del triángulo de Pascal corresponden a los coeficientes binomiales, entonces la suma de la fila $$2^n = (1+1)^n = {n \choose 0}1^n + {n \choose 1}1^{n-1}1 + {n \choose 2} 1^{n-2}1^2\dots + {n \choose n}1^n$ -th es $n$ (numerando la fila superior que solo tiene un 1 con 0).

$2^n$ es de hecho la cantidad de funciones descritas, o el tamaño del conjunto de potencia.

Answer 3

Los números en el triángulo de pascal representan el número de combinaciones... a Partir de la numeración de filas/columnas en cero, el $k^{th}$ elemento en la $n^{th}$ fila del triángulo está dada por $\binom{n}{k}$, que es el número de maneras que usted puede elegir $k$ objetos de un conjunto de $n$ elementos. En su caso, la selección de una función de selección de un determinado número de elementos en el dominio de asignarse a cero (o uno), así que usted puede ver la conexión es inmediata.