Racional con valores decimales finitos para seno, coseno y tangente

Question

¿Cuáles son las posibles combinaciones de seno, coseno y tangente de los valores de tal forma que las tres son a la vez racional con finito de decimales?

Soy consciente de que por debajo de los dos casos.

• $\sin(x) = 0, \cos(x) = 1, \tan(x) = 0$ es un caso trivial para la medida del ángulo cero

• $\sin(x) = 0.6, \cos(x) = 0.8, \tan(x) = 0.75$ es otro caso, para un ángulo de $37$ grados (aproximadamente)

Hay otras combinaciones que satisfacen la condición? Si no, es posible demostrar que estas son las únicas combinaciones posibles?

Edit: lo Siento, se me olvidó un detalle cuando se publique la pregunta. Estoy buscando sen, cos y tan de los valores de los números racionales con finito de decimales. Por ejemplo, (7, 24, 25) es una terna Pitagórica que no satisface la condición, porque bronceado valor sería 0.291666....

Answer 1

Cualquier terna Pitagórica le dará racional $\sin, \cos, \tan$ los valores, y cualquier triple de racional trig valores le dará una terna Pitagórica.

Las ternas Pitagóricas, que han sido completamente clasificados. Tomar dos números naturales $u>v$. Entonces $$ (u^2-v^2)^2 + (2uv)^2=(u^2+v^2)^2 $$ y cualquier terna Pitagórica es de esta forma o de un múltiplo de un triple. Por lo que la posible racional $\sin$ e $\cos$ pares son todos los posibles valores de $$ \frac{u^2-v^2}{u^2+v^2}\text{ y }\frac{2uv}{u^2+v^2} $$

Answer 2

Una hipotenusa-$1$ ángulo recto del triángulo que contiene un ángulo de $x$ tiene cara de longitud $\sin x$ frente a ella y $\cos x$ adyacente a ella, y si estos son racionales, por lo que el ratio de $\tan x$. Pero estas longitudes son racionales si el triángulo se puede escalar para tener entero de longitudes de lado, por lo que la elección racional para $\sin x,\,\cos x,\,\tan x$ con $x$ aguda son, precisamente, los obtenidos a partir de ternas Pitagóricas. Ampliación arbitraria de los ángulos, de modo que algunas de las funciones puede ser negativo, la solución general es $\sin x=\frac{2ab}{a^2+b^2},\,\cos x=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2},\,\tan x=\frac{2ab}{a^2-b^2}$ con $a,\,b\in\mathbb{Z},\,a\ne\pm b$.

Answer 3

Tenga en cuenta que

$$\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x)$$

Por lo tanto, siempre que el seno y el coseno son racionales, y coseno distinto de cero, la tangente es también racional. Desde el seno y el coseno son también continua para todos los números reales $x$ y son lo que llamamos "a" o "surjective" en el intervalo de $[-1,1]$, para cada número en el intervalo podemos encontrar $x$ tal que $\sin(x)$ e $\cos(x)$ son de ese número.

También sabemos que los racionales son "densa" en los reales, es decir, entre dos números reales, siempre se puede encontrar un número racional. Se ergo va que podemos encontrar infinidad de $x$ combos para que $\sin(x)$ e $\cos(x)$ (independientes entre sí) son racionales.

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Esto en realidad no se refieren al caso de su relación de ellos o un ser racional al mismo tiempo, sin embargo.

Para esto, como señaló Azul en los comentarios, ternas Pitagóricas siempre va a funcionar. Ternas pitagóricas definir tres lados de un triángulo rectángulo, específicamente entero positivo soluciones a $a^2 + b^2 = c^2$. Debido a que el triángulo es un triángulo rectángulo, podemos también tenga en cuenta que cualquier $x$ utilizamos como el ángulo de aquí (enfrente de la pierna) será de entre $0$ e $\pi/2$ en medir, noninclusive.

Hay un método para generar una infinidad de ternas Pitagóricas demasiado! Tome positivo, la desigualdad de números enteros $m,n$ - cualquiera de los dos desea. A continuación, $a = 2mn, b = m^2 - n^2, c = m^2 + n^2$. Desde $m,n$ son enteros, entonces $a,b,c$ son enteros. A continuación, en activar $\sin(x) = b/c$ (o $a/c$, dependiendo de la elección de ángulo), y $\cos(x) = a/c$ (o $b/c$), dando los dos son racionales. A partir de eso, podemos ver que $\tan(x) = b/a$ (o $a/b$) y por lo tanto es también relación.

Por lo tanto, para cada par de desigual, enteros positivos $m,n$ podemos tener

$$\sin(x) = \frac{b}{c} = \frac{m^2 - n^2}{m^2 + n^2} \;\;\; \cos(x) = \frac{2mn}{m^2 + n^2} \;\;\; \tan(x) = \frac{m^2 - n^2}{2mn}$$

dando infinitamente muchas soluciones que $\sin(x),\cos(x),\tan(x)$ son todos racionales. A partir de allí, encontrar el correspondiente $x$ es trivial.

En cuanto a si estos son sólo soluciones, no sé.

Answer 4

¿Has intentado usar base $6$ ? He escuchado que hacerlo puede resultar en resultados más precisos al usar $\pi$ . También puede funcionar mejor en este caso, ya que el resultado deseado son decimales finitos.