Medibilidad de la composición de un mapa medible con un mapa suryectivo que satisface una condición de expansión

Question

Estoy intentando resolver el siguiente problema de teoría de la medida y estoy atascado. Parece que debería ser muy fácil, así que debo estar perdiendo algo.

Dejemos que $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sea un mapeo de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ para el que existe una constante $c > 0$ para lo cual

$$ |g(u) - g(v)| \geq c \cdot |u-v| \text{ for all } u, v \in \mathbb{R}. $$

(Nota para evitar confusiones: esta función NO es Lipschitz y no se supone que lo sea).

Demuestre que si $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es medible por Lebesgue, entonces también lo es la composición $f \circ g$ .

Veo que tenemos que demostrar que $g$ mapea conjuntos medibles a conjuntos medibles. Sé cómo mostrar $g$ es inyectiva y que los conjuntos acotados son mapeados hacia y desde conjuntos acotados... pero no estoy seguro de a dónde ir desde allí.

Agradecería un empujón en la dirección correcta. Por favor, no desvele todo el problema, si es posible.

Answer 1

La cuestión aquí es que los supuestos que $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es suryente y que $|g(x)-g(y)| \geq c|x-y|$ para algunos $c \gt 0$ implican que $g$ es biyectiva y que su inversa $h: \mathbb{R} \to\mathbb{R}$ es continua de Lipschitz con la constante de Lipschitz $c^{-1}$ .

En particular, $h$ mapea conjuntos medibles de Lebesgue a conjuntos medibles de Lebesgue. Con más detalle:

1. $h$ mapea conjuntos de Borel a conjuntos de Borel: Todo conjunto cerrado es una unión contable de conjuntos compactos y por tanto $h$ mapea conjuntos cerrados a conjuntos de Borel porque $h(\bigcup C_n) = \bigcup h(C_n)$ donde el lado derecho es una unión contable de conjuntos compactos por continuidad de $h$ por lo que es medible por Borel. Esto nos dice que $g = h^{-1}$ es medible por Borel, por lo que $h$ efectivamente mapea conjuntos de Borel a conjuntos de Borel. (*)
2. $h$ asigna conjuntos nulos a conjuntos nulos: Si $N$ es un conjunto nulo, entonces dado cualquier $\varepsilon \gt 0$ podemos cubrir $N$ por un número contable de intervalos cuya longitud total no supere $\varepsilon$ . Por la continuidad de Lipschitz, las imágenes de estos intervalos serán de nuevo intervalos cuya longitud total no exceda de $c^{-1} \varepsilon$ y esto demuestra que $h(N)$ es un conjunto nulo.
3. Todo conjunto medible de Lebesgue $L$ puede escribirse como $L = B \cup N$ con $B$ Borel y $N$ nulo. Entonces $h(L) = h(B) \cup h(N)$ es la unión de un conjunto Borel y un conjunto nulo por 1. y 2., por lo que $h(L)$ es medible por Lebesgue.

En conclusión, $g^{-1}(L) = h(L)$ es medible por Lebesgue para todo medible por Lebesgue $L$ . Así, $g^{-1}(f^{-1}(B))$ es medible por Lebesgue para todo conjunto de Borel $B$ porque $L = f^{-1}(B)$ es medible por Lebesgue mediante la mensurabilidad de $f$ y esto demuestra que $f \circ g$ es medible.

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(*) Es un hecho general debido a Lusin y Souslin que un medible de Borel inyección entre espacios completamente metrizables envía conjuntos de Borel a conjuntos de Borel, pero esto es mucho más difícil de demostrar que 1 (véase, por ejemplo, Kechris, Teoría de conjuntos descriptiva clásica Teorema 15.1, página 89 ). Sin inyectividad esto falla, la imagen continua de un conjunto de Borel no es un conjunto de Borel: sólo es analítica en general. Véase esta respuesta de MO para que la historia estándar sea contada en este punto