Supongamos que tenemos un no-vacío transitiva de la clase $\mathcal{C}$, lo que significa que si $x$ es en la clase, todos sus elementos están también en la clase. Supongamos también que $\mathcal{C}$ satisface el axioma esquema de especificación y la propiedad siguiente: Si un conjunto a$x$ es tal que todos sus elementos son elementos de $\mathcal{C}$, entonces existe un elemento $y$ en la clase $\mathcal{C}$ tal que $x\subseteq y$.
Tengo que demostrar que $\mathcal{C}$ satisface todos los axiomas de ZF, excepto por el axioma de infinitud. También, tengo que encontrar un ejemplo de una clase de $\mathcal{C}$ tal que el axioma de infinitud no está satisfecho.
Podía probar que tal clase de $\mathcal{C}$ satisface todos los axiomas de ZF, excepto por el axioma de infinitud. No es muy difícil. Por ejemplo, el axioma de la unión, acabo de tomar la costumbre de la unión y demostrar que está contenida en $\mathcal{C}$, por lo que debe tener de que esta unión está contenida en algún elemento de $\mathcal{C}$, y luego por la especificación de la unión es un elemento de $\mathcal{C}$. Los otros axiomas son similares a probar.
Así, sólo queda encontrar una clase de $\mathcal{C}$ que no satisface el axioma de infinitud. Tenemos la relación funcional $V$ inductivamente define como $V_{\alpha}=\bigcup_{\beta \in \alpha}\mathcal{P}\left (V_{\beta}\right )$ para cada ordinal $\alpha$, donde $V_{\emptyset}=\emptyset$. Es sabido que si $\alpha$ es un ordinal límite, a continuación, $V_{\alpha}$ satisface todos los axiomas de ZFC, excepto que (tal vez) por el axioma de infinitud, que se cumple si y sólo si $\omega \in \alpha$. Por lo tanto, tengo el candidato $V_{\omega}$, que satisface todos los axiomas de ZF, excepto por el axioma de infinitud, que no está satisfecho porque $\omega \not\in \omega$. Por supuesto, $V_{\omega}$ es transitiva, pero yo no podía probar que cumple que si un conjunto $x$ es tal que todos sus elementos son elementos de $V_{\omega}$, entonces existe un elemento $y\in V_{\omega}$ tal que $x\subseteq y$ (de hecho, creo que la afirmación es falsa).
Que $\mathcal{C}$ tomaría usted?
EDIT: Algunos de ustedes estaban preguntando donde esta pregunta vino. La tomé de "Teoría axiomática de conjuntos: Una introducción" de Roberto Cignoli. Está escrito en español. Esta es una captura de pantalla con el ejercicio:
